一级倒立摆的Simulink仿真.docx

"Simulink仿真模型设计及控制系统分析" 本文主要介绍了使用Simulink对一级倒立摆系统进行仿真和控制系统设计。该系统由小车和匀质摆杆组成，目标是通过外力u(t)使得摆直立向上。首先，模型线性化后，建立状态空间模型，状态变量包括小车位移和摆杆的角位移。然后，通过Matlab仿真判断系统的可控与可观性，结果表明系统是完全可控和可观的。最后，通过状态反应任意配置系统的极点，并设计了最优控制器对应的K值。 关键词：Simulink仿真、一级倒立摆系统、状态空间模型、可控性、可观性、极点配置 一、系统描述 一级倒立摆系统由小车和匀质摆杆组成，如图1所示。在忽略了空气阻力与各种摩擦之后，该系统可以抽象成一个小车和匀质摆杆组成的系统。假设小车质量M=0.5kg，匀质摆杆质量m=0.2kg，摆杆长度2l=0.6m，x(t)为小车的水平位移，θ为摆杆的角位移，g=9.8m/s2。控制的目标是通过外力u(t)使得摆直立向上〔即θ(t)=0〕。 二、模型线性化 由于系统的非线性模型较为复杂，需要进行线性化处理。在工作点附近〔θ=0, ˙θ=0〕对系统进展线性化，所以可以做如下线性化处理：当θ很小时，由cosθ、sinθ的幂级数展开式可知，忽略高次项后，可得cosθ≈1，sinθ≈θ，θ’^2≈0。因此模型线性化后如下： 〔J+ml^2〕θ’’+mlx’’=mglθ (a) mlθ’’+(M+m) x’’=u (b) 其中J=13 ml2。 三、状态空间模型 取系统的状态变量为x1=x,x2=˙x,x3=θ,x4=˙θ，输出y=[xθ]^T包括小车位移和摆杆的角位移。即X=[x1,x2,x3,x4]^T，Y=[x,θ]^T。 X’=[x1’,x2’,x3’,x4’]^T=[0,1,0,0;0,0,-2.6727,0;0,0,0,1;0,0,31.1818,0]*[x1,x2,x3,x4]^T+[0,0,0,1.8182]^T*u Y=[1,0,0,0]*[x1,x2,x3,x4]^T 四、可控性与可观性分析 通过Matlab仿真判断系统的可控性与可观性。结果表明系统是完全可控和可观的。 五、状态反应任意配置系统的极点 因为系统完全能控，所以能通过状态反应任意配置系统的极点。要将闭环极点配置在λ1=-1,λ2=-2,λ3=-1±j上。通过Matlab仿真确定反应控制规律K，使得系统的极点配置在预期的位置上。 六、最优控制器设计 使用Matlab中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K值。 本文介绍了使用Simulink对一级倒立摆系统进行仿真和控制系统设计，并对系统进行了可控性、可观性和极点配置分析，最终设计了最优控制器对应的K值。