### 解直角三角形超经典例题讲解
#### 一、知识点梳理
##### 考点一：直角三角形的性质
1. **直角三角形的两个锐角互余**
在直角三角形中，若一个角为直角（90°），那么另外两个锐角之和必定为90°。例如，对于直角三角形ABC，如果∠C = 90°，那么∠A + ∠B = 90°。
2. **30°角所对的直角边等于斜边的一半**
如果直角三角形的一个锐角为30°，那么这个角所对的直角边长度正好是斜边长度的一半。例如，在直角三角形ABC中，若∠A = 30°且∠C = 90°，则BC = AB/2。
3. **直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半**
直角三角形的斜边中点到对角顶点的距离等于斜边长度的一半。例如，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，设D为AB的中点，则CD = AB/2。
4. **勾股定理**
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。即若直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。
5. **摄影定理**
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的投影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的投影和斜边的比例中项。具体来说，设直角三角形ABC中，∠C = 90°，CD⊥AB，则有CD² = AD·BD。
6. **常用关系式**
通过三角形面积公式可知，直角三角形的两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。即AB·CD = AC·BC。
7. **图中角的表示**
图中的角可以表示为顶点对应的字母，例如∠A可以表示为点A处的角，同时也可以表示为点B处的角。
8. **坡度与坡角**
- 坡度（或坡比）是指坡面的垂直高度（h）与水平长度（l）的比例，用i表示，即i = h/l。
- 坡角是指坡面与水平面的夹角，记作α，有i = tanα。
- 坡度与坡角的关系是，坡度越大，坡角α也越大，坡面越陡。
##### 考点二：直角三角形的判定
1. **有一个角是直角的三角形是直角三角形**。
2. **如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形**。
3. **勾股定理的逆定理**
如果三角形的三边满足a² + b² = c²，则该三角形是直角三角形。
##### 考点三：锐角三角函数的概念
1. **锐角三角函数的定义**
- 正弦（sinA）：锐角A的对边与斜边的比值。
- 余弦（cosA）：锐角A的邻边与斜边的比值。
- 正切（tanA）：锐角A的对边与邻边的比值。
- 余切（cotA）：锐角A的邻边与对边的比值。
2. **特殊角的三角函数值**
| 角度（α） | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|------------|--------|--------|--------|--------|-------|
| sinα | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cosα | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tanα | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — |
| cotα | — | √3 | 1 | √3/3 | 0 |
3. **锐角三角函数之间的关系**
- 互余关系：sinA = cos(90°−A)，cosA = sin(90°−A)，tanA = cot(90°−A)，cotA = tan(90°−A)。
- 平方关系：sin²A + cos²A = 1，1 + tan²A = sec²A，1 + cot²A = csc²A。
- 倒数关系：secA = 1/cosA，cscA = 1/sinA，tanA·cotA = 1。
- 弦切关系：tanA = sinA/cosA，cotA = cosA/sinA。
4. **锐角三角函数的增减性**
- 正弦值随角度增大而增大。
- 余弦值随角度增大而减小。
- 正切值随角度增大而增大。
- 余切值随角度增大而减小。
##### 考点四：解直角三角形
1. **解直角三角形的概念**
在直角三角形中，除直角外，通常有五个元素（三个边长和两个锐角）。根据已知元素求出所有未知元素的过程称为解直角三角形。
2. **解直角三角形的理论依据**
- 三边之间的关系：a² + b² = c²（勾股定理）。
- 锐角之间的关系：∠A + ∠B = 90°。
- 边角之间的关系：sinA = a/c，cosA = b/c，tanA = a/b。
#### 二、例题讲解
**例题1**
在直角三角形ABC中，若∠C = 90°，BC = 10，AC = 4，求tanA的值。
**解答**
由勾股定理知，AB² = BC² + AC² = 10² + 4² = 116，所以AB = √116。因此，tanA = AC/BC = 4/10 = 0.4。
**例题2**
在直角三角形ABC中，若∠C = 90°，BC = 10，AC = 4，求sinA的值。
**解答**
同样地，AB = √116。所以sinA = AC/AB = 4/√116 = 4/√116。
通过以上例题，我们可以看到如何运用直角三角形的性质以及锐角三角函数的概念来解决问题。这些知识点在中学数学中非常重要，掌握好这些基本原理能够帮助学生更好地理解和应用相关的数学概念。
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