### 第二章 控制系统的数学模型
#### 2.1 数学模型的基本概念
自动控制系统中的数学模型是用来描述系统内部各个物理变量之间相互关系的一种数学表达形式。建立数学模型的目的在于深入理解系统的动态特性，并能够精确地对其进行描述。数学模型的形式多样，包括但不限于：
- **时域模型**：如微分方程、差分方程等，适用于描述系统在时间上的行为。
- **频域模型**：如频率响应函数，侧重于描述系统在不同频率下的响应。
- **方框图和信号流图**：图形化的表示方式，便于理解和分析系统的结构和行为。
- **状态空间模型**：一种更为通用的形式，适用于复杂的多输入多输出系统。
建立数学模型的方法主要有两种：解析法（机理分析法）和实验法（系统辨识法）。前者基于对系统内在机理的理解来建立模型；后者则是通过实验数据来拟合模型。
#### 2.2 控制系统的动态微分方程
微分方程是描述系统动态特性的基础工具之一。对于单个元件或者整个系统而言，建立微分方程的一般步骤包括：
1. **分析元件的工作原理**：了解元件如何工作及其内部结构。
2. **确定输入量与输出量**：明确系统的输入信号和期望获得的输出信号。
3. **找出中间变量**：识别并列出在输入与输出之间的中间变量。
4. **列写微分方程**：根据元件的工作原理和物理定律，列出描述这些变量之间关系的微分方程。
5. **消除中间变量**：通过代数操作消除中间变量，使微分方程仅包含输入量与输出量。
6. **标准化微分方程**：调整方程格式，使得输入量位于方程右侧，输出量位于左侧，并按降幂排列。
**例1**：四端网络的例子展示了如何建立一个简单电路的微分方程，通过分析电路的物理特性，列写出以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的微分方程。
**例2**：进一步通过RC网络的例子，说明了如何处理含有储能元件的系统。
**例3**：介绍了运算放大器的模型，并给出了相应的微分方程，强调了即使不同的物理系统也可能具有相似的数学模型。
**例4**：通过质量块在外力作用下的位移方程，展示了如何应用牛顿第二定律来建立动力学系统的微分方程。
#### 2.3 控制系统的复数域数学模型
复数域模型通常采用拉普拉斯变换来描述系统的行为，这种方法适用于分析系统的稳定性、响应特性等问题。拉普拉斯变换的定义及其基本定理包括：
1. **线性定理**：如果两个函数的拉普拉斯变换存在，则这两个函数的线性组合的拉普拉斯变换也存在，且等于各自拉普拉斯变换的线性组合。
2. **位移定理**：如果函数f(t)关于时间t进行平移，则其拉普拉斯变换也会发生相应的改变。
3. **延迟定理**：如果函数f(t)关于时间t进行延迟，则其拉普拉斯变换会乘以一个指数因子。
4. **终值定理**：可用于预测系统在长时间后的稳态值。
5. **微分定理**：描述了原函数微分与其拉普拉斯变换之间的关系。
6. **积分定理**：描述了原函数积分与其拉普拉斯变换之间的关系。
通过这些定理，可以方便地求解微分方程，并进一步分析系统的动态特性。例如，利用拉普拉斯变换可以轻松地求解复杂系统的微分方程，并通过传递函数来分析系统的性能。
#### 结构图的等效变换与梅逊公式
除了上述内容之外，还需要关注结构图的等效变换方法以及梅逊公式的应用。结构图的等效变换可以帮助简化系统模型，而梅逊公式则是一种有效的工具，用于计算闭环传递函数，尤其是在存在反馈路径的情况下。
第二章的内容涵盖了控制系统数学模型的基础理论，包括时域模型、频域模型、状态空间模型的建立方法，以及如何通过拉普拉斯变换来分析系统的动态特性。这些理论和技术对于理解和设计自动控制系统至关重要。
