topcode编程大赛题目

【编程题目解析】 题目来自于topcode编程大赛，主要考察选手的算法思维和数学技巧。问题的核心在于判断在给定的矩阵中，是否存在一种选择元素的方式，使得每行、每列都至多选一个元素，且所有这样的选择方法下，选取元素的和（sum）都相等。如果存在这样的情况，函数应返回"CORRECT"，否则返回"INCORRECT"。 题目中提到强力法（brute force solution）即穷举所有可能的选择方案，但这种方法在最坏情况下时间复杂度高达O(row!/(row-col)!)，当row和col接近20时，计算量极大，可能导致超时。 解题的关键在于观察和分析。对于行数大于或等于列数的情况，如果Larry的说法正确，那么每行的选取必须相同，因为不同的行选择会改变总和。同样，对于行数等于列数的矩阵，如果Larry正确，需要保证每两行（列）之间的差分向量的各分量相等，这样在不改变差分向量的情况下，总和也不会改变。 具体解决方法是检查矩阵中每个"田"字形区域的对角线元素之和是否相等。若对于所有下标1 <= i < row, 1 <= j <= col，满足(i, j) + (i + 1, j+ 1) == (i + 1, j) + (i, j + 1)，即每个"田"字的对角元素之和相等，那么Larry的说法就是正确的。这是因为这样的条件确保了无论怎样选择，选取的元素之和始终不变。 以下是一段可能的C++代码实现： ```cpp #include <vector> #include <iostream> bool isCorrect(const std::vector<std::vector<int>>& matrix) { int row = matrix.size(); int col = matrix[0].size(); for (int i = 0; i < row - 1; ++i) { for (int j = 0; j < col - 1; ++j) { if (matrix[i][j] + matrix[i + 1][j + 1] != matrix[i + 1][j] + matrix[i][j + 1]) { return false; } } } return true; } int main() { // 假设matrix是输入的矩阵 std::vector<std::vector<int>> matrix = {/*...*/}; std::cout << (isCorrect(matrix) ? "CORRECT" : "INCORRECT") << std::endl; return 0; } ``` 这段代码首先定义了一个名为`isCorrect`的函数，它接受一个二维矩阵作为参数。然后，通过遍历矩阵中的每个"田"字形区域，检查其对角线元素之和是否相等。如果所有检查都通过，则返回"CORRECT"，否则返回"INCORRECT"。 此题目的解决方案巧妙地避免了暴力求解，通过数学性质简化了问题，显著提高了算法效率，使之能够在有限时间内完成对于大矩阵的判断。