回溯算法是一种在搜索解决问题时，通过尝试所有可能的解并逐步缩小搜索空间来找到最优解的方法。在旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）中，它被广泛应用于寻找一条经过所有城市且仅访问一次的最短路径。旅行商问题是一个经典的组合优化问题，属于NP完全问题，意味着在多项式时间内找到一个精确解是极其困难的。
旅行商问题的基本描述是这样的：给定一个无向图，其中的顶点代表城市，边上的权重代表两个城市之间的距离，旅行商需要找出一条从某个城市出发，经过每个城市一次并最终返回起点的最短路径。这个问题的复杂性在于，当城市数量增加时，可能的路径数量呈指数级增长。
回溯算法在解决TSP时，通常采用深度优先搜索策略。以下是回溯算法的基本步骤：
1. **定义状态**：在TSP中，状态可以表示为一个序列，即旅行商当前访问过的城市顺序。
2. **选择下一个城市**：从尚未访问的城市中选择一个进行访问，可以基于贪心策略如最小距离或启发式策略如最邻近规则。
3. **扩展状态**：将选择的城市添加到当前路径中。
4. **检查目标**：如果所有城市都已访问，那么当前路径就是一条候选解，计算其总距离；如果未达到目标（即仍有未访问城市），则回到步骤2。
5. **回溯**：如果无法找到满足条件的后续城市（例如，所有未访问城市都会导致路径超过最短路径限制），则撤销上一步操作（即移除刚访问的城市），继续尝试其他可能性。
6. **剪枝**：在回溯过程中，可以使用剪枝策略减少不必要的搜索，例如，当发现当前路径的长度已经超过已知最优解时，可以直接终止该分支的搜索。
在给定的文件"12-10.c"中，很可能包含了使用C语言实现的回溯算法解决旅行商问题的代码。代码可能会包含以下部分：
- 初始化城市和距离矩阵。
- 定义递归函数，实现深度优先搜索和回溯过程。
- 记录和更新最优解。
- 主函数，调用上述函数并处理输入输出。
通过分析这个C程序，我们可以了解到如何将回溯算法应用于实际问题，理解如何构建搜索树，以及如何利用剪枝技术来提高算法效率。同时，也可以学习到如何在C语言环境中实现这种复杂的算法，包括数据结构的设计和递归函数的编写技巧。
回溯法在解决旅行商问题时，虽然不能保证找到全局最优解，但能够在有限的时间内找到相当接近最优解的解决方案。对于大规模问题，可以通过改进的回溯算法，如记忆化搜索、局部搜索或者与遗传算法、模拟退火等方法结合，来进一步提高求解质量和效率。
