数学建模与数学实验（第三版）

数学建模是利用数学语言和方法对现实世界中特定问题的抽象和简化处理，它涉及从现实问题中识别核心要素，忽略非关键因素，并提出合理假设。数学建模的过程不仅包括建立模型，还需要求解模型并对结果进行验证。这个过程是迭代的，可能包括不断地调整和改进模型以更好地匹配实际情况。 数学建模有其独特的特点：它涉及广泛的应用领域，如物理、工程、生物、医学、经济、军事和体育等，而不同领域的实际问题可能在简化后具有相似的数学模型。在建立数学模型时，需要灵活运用各种数学知识，如微分方程、运筹学、概率统计、图论、层次分析和变分法等，以解决问题。数学建模的实践性强，强调各种技术手段的配合，例如查阅文献、使用计算机和数学软件等。 值得注意的是，数学建模不同于求解数学题目。在数学建模中，通常不存在唯一的正确答案，而对同一个问题可能构建出多个不同的模型。模型的优劣并不是绝对的，而是取决于模型的实用性。同时，建立的数学模型与建模的目的密切相关，不同的目的会导致不同的建模侧重点和出发点。 数学建模的一个典型实例是人口预报问题。人口预测是全球关注的热点问题，准确的人口增长趋势预测是有效控制人口增长的基础。文中介绍了两个基本的人口模型，并利用美国近两百年的实际人口数据对模型进行检验和预测。通过实际案例，读者可以体会数学建模的整个过程。 第一个模型是指数增长模型，该模型假设人口增长率是常数，即单位时间内人口的增长量与当时人口成正比。通过解微分方程得到模型的解析解，进而可以利用历史数据估计模型参数，并检验模型的预测准确性。实例中对1810年到1920年的人口进行预测，发现模型在一定程度上是有效的，但也存在误差，这提示我们模型有其局限性，需要根据实际情况进行调整和改进。 在进行数学建模时，模型的建立和评估需要与模型的目的紧密相关联。不同的建模目标可能会导致模型侧重点的不同，因此，建立模型时需要明确目标，以指导模型的选择和设计。同时，建模者自身的数学素质、经验和直觉等因素也会对建模过程产生重要影响。 数学建模不仅仅是科学，还是一种艺术。要想成为一名出色的数学建模者，需要广泛观摩和实践，学习、分析和改进别人的工作，同时也要亲自动手解决实际问题。数学建模的学习和应用过程，是一个不断学习、实践和创新的过程。