概率论与数理统计公式 小抄必备.pdf
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2022-07-11
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概率论和数理统计公式集锦
一、随机事件与概率
公式名称 公式表达式
德摩根公式
A B A B
，
A B A B
古典概型
P(A)
m A
包含的基本事件数
n
基本事件总数
几何概型
P( A)
( A)
()
，其中μ为几何度量（长度、面积、体积）
求逆公式
P( A ) 1 P( A)
加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB)＝0 时，P(A∪B)=P(A)+P(B)
减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，
B A
时 P(A-B)=P(A)-P(B)
条件概率公式
P(B A)
P(AB)
与乘法公式
P(A)
P(AB) P( A)P(B A) P(B)P(A B)
P( ABC) P( A)P(B A)P(C AB)
n
全概率公式
P ( A)
P ( B
i
) P ( A B
i
)
i 1
贝叶斯公式
P ( B
P( B
i
) P ( A B
i
)
i
A)
（
逆概率公式
）
n
P ( B
i
) P ( A B
i
)
i1
两个事件
相互独立
P( AB) P( A)P(B)
；
P(B A) P(B)
；
P(B A) P(B A)
；
二、随机变量及其分布
1、分布函数
P( X x
k
F (x) P( X x)
)
x
k
x
, P(a X b) F (b) F (a)
x
f (t)dt
2、离散型随机变量及其分布
分布名称 分布律
0–1 分布
X b(1,p)
P( X k ) p
k
(1 p)
1k
, k 0,1
二项分布
X b(n, p )
P( X k ) C
n
k
p
k
(1 p)
nk
, k 0,1,, n
泊松分布
X P (
)
P( X k )
k
k !
e , k 0,1,2,
3、续型随机变量及其分布
分布名称 密度函数 分布函数
均匀分布
0, x a
f ( x)
1
, a x b
F ( x )
X U(a,b)
b a
x a
b a
, a x b
0, 其他
1, x b
分布名称 密度函数 分布函数
指数分布
x
X e(
)
f ( x)
e
x
, x 0
F (x)
x 0
0, x 0
1 e ,
0, x 0
)
2
正态分布
)
2
f ( x )
1
( x
2
2
X N (
,
2
)
2
e
F ( x)
1
x
( t
2
2
2
e d t
x
x
2
标准正态分布
( x )
1
2
x
1
t
2
X N (0,1)
2
e
(x)
1
2
x
2
e dt
4、随机变量函数 Y=g(X)的分布
离散型：
P(Y y
i
)
p
j
,i 1,2,
，
g ( x
j
) y
i
连续型：①分布函数法，②公式法
f
Y
( y) f
X
(h( y)) h
( y) ( x h( y)单调 )
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律：
P ( X x
i
, Y y
j
) p
ij
, i, j 1, 2,
分布函数
F ( X , Y )
x
p
ij
i
x y
i
y
边缘分布律：
p
i
P( X x
i
)
p
ij
p
j
P(Y y
j
) p
j
ij
i
条件分布律：
P( X x
i
Y y
j
)
p
ij
p
ij
p
,i 1,2,
，
P(Y y
j
X x
i
)
j
p
, j 1,2,
i
2、连续型二维随机变量及其分布
①分布函数及性质
分布函数：
F ( x , y )
x
y
f (u, v )dudv
性质：
F ( , ) 1,
2
F ( x, y )
xy
f ( x, y),
P (( x, y ) G )
f ( x, y )dxdy
G
②边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数：
F
X
( x )
x
f (u , v )dvdu
密度函数：
f
X
( x )
f ( x, v )dv
F
Y
( y )
y
f (u , v )dudv f
Y
( y )
f (u , y ) du
③条件概率密度
f y x)
f (x, y)
f )
, y
，
f
f (x, y)
Y X
(
X Y
(x y)
f
, x
X
(x
Y
( y)
3、随机变量的独立性
随机变量 X、Y 相互独立
F (x, y) F
X
(x)F
Y
( y)
，
离散型：
p
ij
p
i .
p
. j
，连续型：
f (x, y) f
X
(x) f
Y
( y)
4、二维随机变量和函数的分布
离散型：
P(Z z
k
)
P( X x
i
,Y y
j
)
x
i
y
j
z
k
连续型：
f
Z
( z )
f ( x, z x)dx
f ( z y , y )dy
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义：离散型
E ( X )
x
k
p
k
，连续型
E ( X )
k 1
xf ( x ) dx
②性质：
E(C) C,
E[E(X )] E(X )
，
E(CX ) CE(X )
，
E(X Y ) E( X ) E(Y )
E(aX b) aE( X ) b
，当 X、Y 相互独立时：
E(XY ) E( X )E(Y )
2、方差
①定义：
D(X ) E[( X E(X ))
2
] E(X
2
) E
2
(X )
②性质：
D(C) 0
，
D(aX b) a
2
D( X )
，
D(X Y ) D(X ) D(Y ) 2Cov(X ,Y )
当 X、Y 相互独立时：
D(X Y ) D(X ) D(Y )
3、协方差与相关系数
①协方差：
Cov(X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y )
，当 X、Y 相互独立时：
Cov(X ,Y ) 0
②相关系数：
Cov(X ,Y )
XY
，当 X、Y 相互独立时：
0
(X,Y 不相关)
D( X ) D(Y )
XY
③协方差和相关系数的性质：
Cov( X , X ) D(X )
，
Cov( X ,Y ) Cov(Y , X )
Cov(X
1
X
2
,Y ) Cov(X
1
,Y ) Cov(X
2
,Y )
，
Cov(aX c,bY d ) abCov(X ,Y )
4、常见随机变量分布的数学期望和方差
分布 数学期望 方差
0-1 分布
b(1, p)
p p(1-p)
二项分布
b(n, p)
np np(1-p)
泊松分布
P(
)
均匀分布
U (a,b)
a b
(b a)
2
2
正态分布
N (
,
2
)
12
2
指数分布
e(
)
1
1
2
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若
E( X )
, D(X )
2
,
对于任意
0
有
P{ X E(X )
}
D(X )
2
2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若
X
1
X
n
相互独立，
n n
E( X
i
)
i
, D( X
i
)
i
2
且
i
2
C
，则：
1
n
X
P
1
i
X
i
), (n )
i1
n
E(
i1
②伯努利大数定律：设 n
A
是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在
每次试验中发生的概率，则
0
，有：
lim
n
A
n
P
n
p
1
③辛钦大数定律：若
X
1
, , X
n
n
独立同分布，且
E( X
i
)
，则
1
n
X
i
i 1
n
P
3、中心极限定理
①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量
X
i
(i 1,2, )
，均值
为
，方差为
2
0
，当 n 充分大时有：
n
Y
n
(
X
k
n
) n
~
N (0,1)
k 1
②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量
X ~ B(n, p)
，则对任意 x 有：
2
lim
X
x
n
P{
np
np(1 p)
x}
1
t
2
2
e dt (x)
n
③近似计算：
P(a
X
b n
a n
k
b) (
k 1
n
) (
n
)
资源评论
qq_538192062024-04-05资源内容详实，描述详尽，解决了我的问题，受益匪浅，学到了。
m0_636970432024-01-08非常有用的资源，可以直接使用，对我很有用，果断支持！- jj_159561190532024-02-19感谢大佬分享的资源，对我启发很大，给了我新的灵感。
