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FCM 算法是一种基于划分的聚类算法，它的思想就是使得被划分到同一簇的对象之间

相似度最大，而不同簇之间的相似度最小。模糊 C 均值算法是普通 C 均值算法的改进，普

通 C 均值算法对于数据的划分是硬性的，而 FCM 则是一种柔性的模糊划分。在介绍 FCM

具体算法之前我们先介绍一些模糊集合的基本知识。

6.1.1 模糊集基本知识

首先说明隶属度函数的概念。隶属度函数是表示一个对象 x 隶属于集合 A 的程度的函

数，通常记做μ

A

(x)，其自变量范围是所有可能属于集合 A 的对象（即集合 A 所在空间中

的所有点），取值范围是[0,1]，即 0<=

μ

A

(x)<=1。μ

A

(x)=1 表示 x 完全隶属于集合 A，相当于传统集合概念上的 x∈A。一个定义

在空间 X={x}上的隶属度函数就定义了一个模糊集合 A，或者叫定义在论域 X={x}上的模糊

子集

A

。对于有限个对象 x

1

，x

2

，……，x

n

模糊集合

A

可以表示为：

~ ~

[21]

A  {(



A

( x

i

), x

i

) | x

i

 X }

(6.1)

~

有了模糊集合的概念，一个元素隶属于模糊集合就不是硬性的了，在聚类的问题中，可

以把聚类生成的簇看成模糊集合，因此，每个样本点隶属于簇的隶属度就是[0，1]区间里面

的值。

6.1.2 K 均值聚类算法(HCM)介绍

K 均值聚类，即众所周知的 C 均值聚类，已经应用到各种领域。它的核心思想如下：

算法把 n 个向量 x

j

(1,2…,n)分为 c 个组 G

i

(i=1,2,…,c)，并求每组的聚类中心，使得非相似性

（或距离）指标的价值函数（或目标函数）达到最小。当选择欧几里德距离为组j 中向量 x

k

与相应聚类中心 c

i

间的非相似性指标时，价值函数可定义为：

c c

k

J 



Ji 



(



|| x

i 1 i 1 k , x

k

Gi

 c

i

|| )

(6.2)

2

c

这里

Ji 



(



|| x

i 1 k , x

k

Gi

k

 c

i

|| )

是组 i 内的价值函数。这样 J

i

的值依赖于 G

i

的几何特性和 c

i

2

的位置。

一般来说，可用一个通用距离函数 d(x

k

,c

i

)代替组 I 中的向量 x

k

，则相应的总价值函数可

表示为：

c c

k

J 



Ji 



(



d( x

i 1 i 1 k , x

k

Gi

 c

i

))

(6.3)

为简单起见，这里用欧几里德距离作为向量的非相似性指标，且总的价值函数表示为

（6.2）式。

划分过的组一般用一个 c×n 的二维隶属矩阵 U 来定义。如果第 j 个数据点 x

j

属于组 i，

则 U 中的元素 u

ij

为 1；否则，该元素取 0。一旦确定聚类中心 ci，可导出如下使式（6.2）

最小 u

ij

：



1









0



对每个 k  i, 如果 x

j

 c

i

其它

2

u

ij

 x

j

 c

k

2

，

(6.4)

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