### 齐次坐标系中的剪切算法
#### 摘要
本文是基于James F. Blinn在1976年发表的一篇关于在齐次坐标系中进行剪切处理的文章摘要。剪切（Clipping）是指确定给定线段有多少部分位于显示屏幕边界内的过程。通常使用的齐次坐标系是一种方便的数学工具，用于表示和转换对象。然而，由齐次坐标表示的空间并不是简单的欧几里得三维空间，而是类似于一种称为“射影平面”的拓扑形状。
剪切问题通常是在不考虑欧几里得空间与齐次坐标空间之间差异的情况下解决的。对于某些构造，这会导致图片生成中的错误，表现为本应可见的线条被标记为不可见。本文将探讨这些情况，并提出正确剪切线段的技术。
#### 引言
齐次坐标系长期以来一直被计算机图形学领域用作一种方便的数学装置来表示和变换对象。尽管齐次坐标提供了统一的表示和操作方式，但它们的潜力并未被充分利用。这可能是因为缺乏明确针对这些技术应用的出版物。Sutherland和Hodgman在其关于多边形剪切的论文附录中提供了少数关于该主题的讨论之一。
本文提出了使用齐次坐标来表示三维对象的技术，并展示了如何将齐次表示贯穿于转换和剪切过程中，以确保一致性。本文很大程度上是对Sutherland和Hodgman论文附录的重述，并扩展了其中提出的想法。虽然假设读者已经具备一定的齐次坐标表示的基础知识，以下章节仍然包含了复习内容以及介绍了后续部分所使用的术语和技术。
#### 1.1 齐次坐标
在三维空间中，对象的表示和转换通常是在笛卡尔坐标系统中完成的。在这种情况下，仅需三个坐标（X，Y，Z）即可表示一个点。然而，在计算机图形学中，为了简化计算和处理透视投影等问题，引入了齐次坐标系。在齐次坐标系中，每个点通过四个值（x，y，z，w）来表示，其中前三个值与笛卡尔坐标对应，而最后一个值w用于表示透视投影。
##### 齐次坐标表示
齐次坐标表示的基本思想是通过增加一个额外的维度来表示点和方向，从而使线性变换可以统一表示。例如，三维空间中的点（x，y，z）在齐次坐标中表示为（x，y，z，1），而方向则可以表示为（x，y，z，0）。这种表示方法使得平移、旋转、缩放等变换可以通过矩阵乘法实现，从而简化了计算。
##### 齐次坐标下的变换
在齐次坐标系下，几何变换可以通过矩阵乘法来实现。例如，一个简单的平移变换可以通过下面的形式来表示：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ z + t_z \\ w \end{pmatrix} \]
其中\( (t_x, t_y, t_z) \)是平移向量。通过类似的矩阵形式，也可以实现旋转、缩放等多种变换。
##### 齐次坐标下的剪切
在齐次坐标系中，剪切操作涉及确定线段是否完全或部分位于显示屏幕内。由于齐次坐标表示的空间特性，传统的剪切算法可能会导致错误的结果。例如，在处理透视投影时，如果不正确地应用齐次坐标，可能导致一些应该可见的线段被错误地标记为不可见。为了克服这个问题，本文提出了一种新的剪切算法，它能够正确地处理齐次坐标下的剪切操作。
本文详细讨论了如何在齐次坐标系中进行有效的剪切处理，这对于解决图形学中的一些复杂问题具有重要的意义。通过对齐次坐标理论的理解和应用，可以有效地避免传统剪切算法中的潜在错误，并提高图像生成的质量。
