杨辉三角文档

杨辉三角形的每一项数据正好是组合 （即n!/m!/(n-m)！）的值，其中n是行数（从0行开始）；m是列数（从0列开始）。请使用上述算法得到杨辉三角形每一个位置的值并按下图打印。要求用函数f计算一个正整数的阶乘（用递归函数来实现），通过主函数调用f完成计算. 编写一个函数，要求对n个学生的成绩进行排序，要求用数组名作函数参数。在数组a中存放了10个学生某门课程的成绩，调用上述函数，实现对10个学生的成绩排序。 ### 杨辉三角知识点 #### 1. 杨辉三角定义 杨辉三角是一个非常著名的数学概念，在中国的文献中最早可以追溯到北宋时期的数学家杨辉。它是一种由数字构成的三角形阵列，其中每个数字是其正上方与左上方两个数字之和。这个三角形的每行代表了一个二项式系数的序列。 #### 2. 杨辉三角的性质 - **第n行有n+1个元素**：每一行的第一个和最后一个数字都是1。 - **任意一行的数字恰好对应于二项式展开式中的系数**：例如 (x + y)^n 的各项系数。 - **中心对称性**：杨辉三角具有中心对称性，即每一行的数字从两端向中间是对称的。 - **边界条件**：第一列始终为1，最后一列也始终为1。 - **组合数学的解释**：杨辉三角的第n行第m个数字表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数，即C(n,m)，可以用公式表示为 n!/m!/(n-m)!。 #### 3. 计算杨辉三角的方法 要计算杨辉三角的值，可以通过两种主要方法： - **递推法**：这种方法利用了杨辉三角中相邻两行之间的关系。具体而言，每一行的第k个元素等于上一行的第k-1个元素加上第k个元素。这种方法非常适合编程实现。 - **组合公式**：利用组合数公式 n!/m!/(n-m)! 直接计算每一个元素的值。这种方法虽然计算量较大，但对于较小的n值来说仍然可行。 #### 4. 使用递归函数计算阶乘 阶乘是指所有小于等于该数的正整数的乘积。在本例中，为了计算杨辉三角中的每个元素，我们需要编写一个递归函数来计算阶乘。 ```c int factorial(int x) { if (x == 1 || x == 0) return 1; else return x * factorial(x - 1); } ``` 此递归函数首先检查基本情况：如果输入为1或0，则返回1（因为0的阶乘和1的阶乘都等于1）。否则，它会递归地调用自身，将当前数乘以前一个数的阶乘结果。 #### 5. 打印杨辉三角 为了打印杨辉三角，我们可以使用双重循环。外层循环用于遍历每一行，而内层循环用于计算每一行中的各个元素。 ```c void print_pascal_triangle(int rows) { for (int i = 0; i < rows; i++) { for (int j = 0; j <= i; j++) { printf("%4d", factorial(i) / (factorial(j) * factorial(i - j))); } printf("\n"); } } ``` #### 6. 排序算法 在本例中，还需要编写一个函数对学生的成绩进行排序。这里使用了选择排序算法。 ```c void sort_scores(int scores[], int len) { for (int i = 0; i < len - 1; i++) { int min_index = i; for (int j = i + 1; j < len; j++) { if (scores[j] < scores[min_index]) min_index = j; } if (min_index != i) { int temp = scores[i]; scores[i] = scores[min_index]; scores[min_index] = temp; } } } ``` 该函数接受一个整型数组和数组长度作为参数。通过查找剩余未排序部分的最小元素并将其放置在正确的位置上来实现排序。 ### 实验总结 本次实验主要学习了如何使用C语言实现杨辉三角的计算和打印，以及如何编写一个简单的排序函数对数组进行排序。通过这些实践操作，加深了对函数定义、调用、参数传递的理解，同时也掌握了函数的嵌套与递归的基本应用。