### 第三章 线性控制系统的能控性和能观性
#### 1. 能控性和能观性的基本概念
能控性和能观性是现代控制理论中的两个核心概念，它们是系统综合与最优控制的基础。能控性和能观性主要用来分析线性控制系统的能力，特别是针对系统能否通过控制输入改变其状态以及是否能够通过输出观测到内部状态的变化。
**能控性**定义了一个系统是否可以通过适当的控制输入将任意初始状态转移到指定的终端状态。而**能观性**则是指系统是否可以通过输出来反映其内部状态的变化情况。
#### 2. 能控性的定义及分类
##### 2.1 线性定常系统
- **能控**：若存在一个无约束的容许控制\( u(t) \)，能在有限时间区间内\( t \in [t_0, t_1] \)，使系统由某一非零的初始状态\( x(t_0) \)，转移到任一终端状态（通常指定终端状态\( x(t_1) = 0 \)），则称系统在状态\( x(t_0) \)是能控的。
- **完全能控**：若系统在状态空间中的所有非零点均能控，则称系统是完全能控的。
- **不完全能控**：若系统在状态空间中至少存在一个非零状态是不能控的，则称系统是不完全能控的。
##### 2.2 线性时变系统
- **能控**：若存在一个无约束的容许控制\( u(t) \)，能在有限时间区间内\( t \in [t_0, t_1] \)，使系统由某一非零的初始状态\( x(t_0) \)，转移到任一终端状态（通常指定终端状态\( x(t_1) = 0 \)），则称系统在\( t_0 \)时刻的状态\( x(t_0) \)是能控的。
- **完全能控**：若系统在状态空间中的所有非零点，在时刻\( t_0 \)均能控，则称系统在时刻\( t_0 \)是完全能控的。
- **不完全能控**：若系统在状态空间中至少存在一个非零状态在\( t_0 \)不能控，则称系统在时刻\( t_0 \)是不完全能控的。
##### 2.3 线性离散系统
- **能控**：若存在控制作用序列\( u(k), u(k+1), \ldots, u(l-1) \)能将第\( k \)步的某个状态\( x(k) \)在第\( l \)步转移到零状态，即\( x(l) = 0 \)，\( l \)是大于\( k \)的有限数，则称系统在第\( k \)步的状态\( x(k) \)是能控的。
- **完全能控**：若系统在第\( k \)步上的所有状态\( x(k) \)都是能控的，则称系统完全能控。
#### 3. 线性定常系统的能控性判别
**GRAM（格兰姆）矩阵判据**是一种常用的能控性判别方法。线性定常系统方程可以表示为：
\[
\dot{x} = Ax + Bu, \quad x(0) = x_0, \quad t \geq 0
\]
其中\( A \)和\( B \)分别是系统矩阵和输入矩阵。\(\dot{x}\)表示状态向量\( x \)的时间导数。对于这样的系统来说，其完全能控性的充分必要条件为，存在时刻\( t_1 > 0 \)使得如下定义的GRAM矩阵是非奇异的：
\[
W_c[0,t_1] = \int_0^{t_1}(e^{-At}B)(e^{-At}B)^{\mathrm{T}}dt
\]
其中\( e^{-At} \)是矩阵\( A \)的指数函数。如果\( W_c[0,t_1] \)是非奇异的，那么我们可以构造出一个控制输入\( u(t) \)使得系统能够在指定时间内从任意初始状态转移到零状态。具体地，该控制输入可以表示为：
\[
u(t) = -(e^{-At}B)^{\mathrm{T}}W_c^{-1}[0,t_1]x_0, \quad t \in [0, t_1]
\]
在该控制输入的作用下，系统的状态变化可以表示为：
\[
x(t_1) = e^{A t_1}x_0 - \int_0^{t_1}e^{A(t_1-t)}B(e^{-At}B)^{\mathrm{T}}W_c^{-1}[0,t_1]x_0dt
\]
由于\( W_c[0,t_1] \)是非奇异的，因此可以得出\( x(t_1) = 0 \)，这意味着系统是完全能控的。
通过理解能控性和能观性的定义及其判别方法，我们可以有效地分析线性控制系统的可控能力和可观测能力，这对于设计和优化控制系统具有重要意义。
