kalman卡尔曼滤波器介绍（姚晨旭译）文档+代码资源-CSDN文库

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卡尔曼滤波器介绍

Greg Welch

and Gary Bishop

TR 95-041

Department of Computer Science

University of North Carolina at Chapel Hill

Chapel Hill, NC 27599-3175

翻译：姚旭晨

更新日期: 2006年7月24日，星期一

中文版更新日期：2007年7月16日，星期一

摘摘摘要要要

1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波

问题的论文。从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波器

已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。

卡尔曼滤波器由一系列递归数学公式描述。它们提供了一种高效可

计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。卡尔曼滤波

器应用广泛且功能强大：它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能

估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。

这篇文章介绍了离散卡尔曼理论和实用方法，包括卡尔曼滤波器及

其衍生：扩展卡尔曼滤波器的描述和讨论，并给出了一个相对简单的

带图实例。

welch@cs.unc.edu, http://www.cs.unc.edu/˜welch

gb@cs.unc.edu, http://www.cs.unc.edu/˜gb

北卡罗来纳大学教堂山分校，译者注。

Welch & Bishop,卡尔曼滤波器介绍 2

1 离离离散散散卡卡卡尔尔尔曼曼曼滤滤滤波波波器器器

1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问

题的论文 [Kalman60] 。从那以后，得益于数字计算技术的进步，

卡尔曼

滤波器

已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。

[Maybeck79] 的第一章给出了一个非常“友好”的介绍，更全面的讨论可以

参考 [Sorenson70] ，后者还包含了一些非常有趣的历史故事。更广泛的参

考包括 [Gelb74, Grewal93, Maybeck79, Lewis86, Brown92, Jacobs93] 。

被被被估估估计计计的的的过过过程程程信信信号号号

卡尔曼滤波器用于估计离散时间过程的状态变量 x ∈ <

。这个离散时

间过程由以下离散随机差分方程描述：

= Ax

k−1

+ Bu

k−1

+ w

k−1

, (1.1)

定义观测变量 z ∈ <

，得到量测方程：

= Hx

+ v

. (1.2)

随机信号 w

和 v

分别表示过程激励噪声

和观测噪声。假设它们为相

互独立，正态分布的白色噪声：

p(w) ∼ N(0, Q), (1.3)

p(v) ∼ N (0, R). (1.4)

实际系统中，

过程激励噪声协方差矩阵

Q 和

观测噪声协方差矩阵

R 可

能会随每次迭代计算而变化。但在这儿我们假设它们是常数。

当控制函数u

k−1

或过程激励噪声 w

k−1

为零时，差分方程1.1中的 n × n

阶增益矩阵 A 将过去 k − 1 时刻状态和现在的 k 时刻状态联系起来。实际中

A 可能随时间变化，但在这儿假设为常数。n × l 阶矩阵 B 代表可选的控制

输入 u ∈ <

的增益。量测方程1.2中的 m × n 阶矩阵 H 表示状态变量 x

对

测量变量 z

的增益。实际中 H 可能随时间变化，但在这儿假设为常数。

滤滤滤波波波器器器的的的计计计算算算原原原型型型

定义 ˆx

−

∈ <

（

−

代表先验，ˆ代表估计）为在已知第 k 步以前状态情

况下第 k 步的

先验

状态估计。定义 ˆx

∈ <

为已知测量变量 z

时第 k 步的

后验

状态估计。由此定义

先验

估计误差和

后验

估计误差：

−

≡ x

− ˆx

−

≡ x

− ˆx

原文为 process noise，本该翻译作过程噪声，由时间序列信号模型的观点，平稳随机序

列可以看成是由典型噪声源激励线性系统产生，故译作过程激励噪声。

UNC-Chapel Hill, TR 95-041, July 24, 2006

Welch & Bishop,卡尔曼滤波器介绍 3

先验

估计误差的协方差为：

−

= E[e

−

], (1.5)

后验

估计误差的协方差为：

= E[e

], (1.6)

式1.7构造了卡尔曼滤波器的表达式：

先验

估计 ˆx

−

和加权的测量变量

及其预测 H ˆx

−

之差的线性组合构成了

后验

状态估计 ˆx

。式1.7的理论解

释请参看“滤波器的概率原型”一节。

ˆx

= ˆx

−

+ K(z

− H ˆx

−

) (1.7)

式1.7中测量变量及其预测之差 (z

− H ˆx

−

) 被称为测量过程的

革新

或

残

余

。残余反映了预测值和实际值之间的不一致程度。残余为零表明二者完

全吻合。

式1.7中 n × m 阶矩阵 K 叫做残余的

增益

或

混合因数

，作用是使1.6式

中的

后验

估计误差协方差最小。可以通过以下步骤计算 K ：首先将1.7式

代入 e

的定义式，再将 e

代入1.6式中，求得期望后，将1.6式中的 P

对

K 求导。并使一阶导数为零从而解得 K 值。详细推导清参照 [Maybeck79,

Brown92, Jacobs93] 。 K 的一种表示形式为：

= P

−

(HP

−

+ R)

−1

−

+ R

. (1.8)

由1.8式可知，观测噪声协方差 R 越小，残余的增益越大 K 越大。特别

地， R 趋向于零时，有：

lim

→0

= H

−1

另一方面，

先验

估计误差协方差 P

−

越小，残余的增益 K 越小。特别

地， P

−

趋向于零时，有：

lim

−

→0

= 0.

增益 K 的另一种解释是随着测量噪声协方差 R 趋于零，测量变量 z

的权重越来越大，而 z

的预测 H ˆx

−

的权重越来越小。另一方面，随着

先

验

估计误差协方差 P

−

趋于零，测量变量 z

的权重越来越小，而 z

的预测

H ˆx

−

的权重越来越大。

UNC-Chapel Hill, TR 95-041, July 24, 2006

Welch & Bishop,卡尔曼滤波器介绍 4

滤滤滤波波波器器器的的的概概概率率率原原原型型型解解解释释释

1.7式的解释来源于贝叶斯规则： ˆx

的更新取决于在已知先前的测量变

量 z

的情况下 x

的先验估计 ˆx

−

的概率分布。卡尔曼滤波器表达式中包含

了状态分布的前二阶矩。

E[x

] = ˆx

E[(x

− ˆx

)(x

− ˆx

)

] = P

后验

状态估计1.7式反应了状态分布的均值（一阶矩）――如果条件

式1.3和1.4成立，均值的估计便是正态分布的。

后验

估计误差协方差1.6式反

映了状态分布的方差（二阶非中心矩）。在已知 z

的情况下， x

的分布可

写为：

p(x

) ∼ N(E[x

], E[(x

− ˆx

)(x

− ˆx

)

])

= N (ˆx

, P

有关卡尔曼滤波器的概率原型的更多讨论，请参考 [Maybeck79,

Brown92, Jacobs93]。

离离离散散散卡卡卡尔尔尔曼曼曼滤滤滤波波波器器器算算算法法法

我们先给出卡尔曼滤波器的总体性概述，然后讨论方程式的具体细节

及其作用。

卡尔曼滤波器用反馈控制的方法估计过程状态：滤波器估计过程某一

时刻的状态，然后以（含噪声的）测量变量的方式获得反馈。因此卡尔曼

滤波器可分为两个部分：

时间更新

方程和

测量更新

方程。时间更新方程负

责及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计的值，以便为下一个时间

状态构造

先验

估计。测量更新方程负责反馈――也就是说，它将

先验

估计

和新的测量变量结合以构造改进的

后验

估计。

时间更新方程也可视为

预估

方程，测量更新方程可视为

校正

方程。最

后的估计算法成为一种具有数值解的

预估－校正

算法，如图1-1所示。

UNC-Chapel Hill, TR 95-041, July 24, 2006

Welch & Bishop,卡尔曼滤波器介绍 5

图 1-1: 离散卡尔曼滤波器循环更新图。

时间更新

方程将当前状态变量作为

先验估计及时地向前投射到测量更新方程，

测量更新

方程校正先验估计以

获得状态的后验估计。

表1-1和表1-2分别给出了时间更新方程和测量更新方程的具体形式。

表 1-1: 离散卡尔曼滤波器时间更新方程

ˆx

−

= Aˆx

k−1

+ Bu

k−1

(1.9)

−

= AP

k−1

+ Q (1.10)

请再次注意表1-1中的时间更新方程怎样将状态估计 x

−

和协方差估计

−

从 k − 1 时刻向前推算到 k 时刻。 A 和 B 来自式1.1， Q 来自式1.3，滤

波器的初始条件在早先的引用中讨论过。

表 1-2: 离散卡尔曼滤波器状态更新方程

= P

−

(HP

−

+ R)

−1

(1.11)

ˆx

= ˆx

−

+ K

− H ˆx

−

) (1.12)

= (I − K

H)P

−

(1.13)

测量更新方程首先做的是计算卡尔曼增益 K

。注意1.11式和1.8式是相

同的。其次便测量输出以获得 z

，然后按1.12式（与1.7式相同）产生状态

的

后验

估计。最后按1.13式估计状态的

后验

协方差。

计算完时间更新方程和测量更新方程，整个过程再次重复。上一次计

UNC-Chapel Hill, TR 95-041, July 24, 2006

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