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极坐标与参数方程知识点总结.pdf
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. . . . .
第一部分:坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
x
• x,
0
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
:
的作
y
• y,
0
用下,点
P
x, y
对应到点
P
x
, y
,称
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简
称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图(1)所示,在平面内取一个定点
O
,叫做极点,自极点
O
引一条射线
Ox
,叫做极轴;再选定一个长度单位,一
个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角
坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐
标系.
(2)极坐标
设 M 是平面内一点,极点
O
与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为
;以极轴
Ox
为始边,
射线
OM
为终边的角
xOM
叫做点 M 的极角,记为
.有序数对
,
叫做点 M 的极坐标,
记作 M
,
.一般地,不作特殊说明时,我们认为
0,
可取任意实数.特别地,当点 M 在极点时,它的极坐
标为
0,
R
。和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定
0,0
2
,那
么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标
,
表示;同时,极坐标
,
表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如
图(2)所示:
. 专业 word 可编辑 .
. . . . .
(2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是
x, y
,极坐标是
,
0
,于是极坐标与直
角坐标的互化公式如表:
直角坐标
x, y
极坐标
,
点 M
互化公式
x
cos
y
sin
2
x
2
y
2
tan
y
x 0
x
在一般情况下,由
tan
确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点,半径为
r
的圆
圆心为
r,0
,半径为
r
的圆
r
0
2
2r
2
2
圆心为
r,
,半径为
r
的圆
2
2r sin
0
过极点,倾斜角为
的直线
(1)
R
或
R
(2)
0
或
0
过点
a,0
,与极轴垂直的直线
cos
a
2
2
. 专业 word 可编辑 .
. . . . .
过点
a,
线
,与极轴平行的直
2
sin
a
0
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 ,即
,
,
,2
,
,
,
,
都表示同一
点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少
有 一 个 能 满 足 极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程
点
M
,
可 以 表 示 为
4 4
5
M
, 2
或M
, 2
或M
,
等多种形式 ,其中,只有
M
,
的极坐标满足方程
4 4
4 4
4 4
4 4
.
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
x, y
都是某个变数
t
的函数
x f
t
①,并且对
y g
t
于
t
的每一个允许值 ,由方程组①所确定的点
M
x, y
都在这条曲线上 ,那么方程①就叫做这条曲线的参数
方程,联系变数
x, y
的变数
t
叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程
叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方
程.
(2)如果知道变数
x, y
中的一个与参数
t
的关系,例如
x f
t
,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数
的关系
y g
t
,那么
范围保持一致.
. 专业 word 可编辑 .
x f
t
就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使
x, y
的取值
y g t
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a66889999
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