信号与系统考试试题及答案.docx

根据提供的文档内容，我们可以总结和解析出多个关于“信号与系统”领域的关键知识点。下面将逐一分析这些知识点，并提供详细的解释。 ### 1. 填空题解析 #### 1.1 求导问题 **题目**: 已知 \(f(t)=(t^2+4)\epsilon(t)\)，求 \(f''(t)\)。 **解答**: 给定的函数 \(f(t)=(t^2+4)\epsilon(t)\) 是一个包含单位阶跃信号 \(\epsilon(t)\) 的函数。对于含有阶跃信号的函数求导，需要特别注意阶跃信号本身的导数。根据阶跃信号的性质，\(\epsilon'(t) = \delta(t)\)，其中 \(\delta(t)\) 是单位冲击信号。因此， \[ f'(t) = (2t)\epsilon(t) + (t^2 + 4)\delta(t) \] 再次求导得到： \[ f''(t) = 2\epsilon(t) + 2t\delta(t) + (t^2 + 4)\delta'(t) = 2\epsilon(t) + 4\delta'(t) \] #### 1.2 卷积问题 **题目**: 已知 \(f(k) = \{1, 2, -2, 1\}\)，\(h(k) = \{3, 4, 2, 4\}\)，求卷积 \(f(k) * h(k)\)。 **解答**: 卷积操作定义为两个函数在时域上的积分（对于离散信号则是求和）。具体来说，对于离散信号 \(f(k) * h(k)\) 可以通过以下步骤计算： \[ f(k) * h(k) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty} f(l)h(k-l) \] 根据给定数据进行计算可以得到卷积结果为 \(\{3, 10, 4, 3, 8, -6, 4\}\)。 #### 1.3 系统不失真传输条件 **题目**: 信号通过系统不失真的条件是什么？ **解答**: 系统不失真传输指的是信号经过系统后，除了幅度和相位可能发生变化外，波形保持不变。不失真传输的条件通常表达为系统函数的形式：\(H(j\omega) = Ke^{-j\omega t_0}\)，其中 \(K\) 和 \(t_0\) 分别是常数，代表系统的增益和延迟。 #### 1.4 最大频率 **题目**: 若 \(f(t) = 4\cos(20\pi t) + 2\cos(30\pi t)\)，求最大频率。 **解答**: 对于给定的信号，最大频率可以通过信号中的各频率分量的最大值来确定。在这个例子中，最大频率为 \(30\pi\)，即 \(f_{\text{max}} = 15\) Hz。 #### 1.5 平均功率 **题目**: 信号 \(f(t) = 4\cos(20\pi t) + 2\cos(30\pi t)\) 的平均功率是多少？ **解答**: 平均功率可以通过将信号的傅里叶系数平方求和来计算。对于给定的信号，平均功率为： \[ P = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |F_n|^2 = 2^2 + 2^2 + 1 + 1 = 10 \] #### 1.6 线性时不变系统判定 **题目**: 已知一系统的输入输出关系为 \(y(t) = f(3t)\)，试判断该系统是否为线性时不变系统。 **解答**: 系统是否为线性时不变系统，可以通过测试系统的线性和时不变性来判断。对于给定的输入输出关系 \(y(t) = f(3t)\)，可以看出系统是线性的，但不是时不变的。这是因为当输入信号的时间位置改变时，输出信号的时间位置也会相应地按照不同的比例改变。 #### 1.7 拉普拉斯变换到傅里叶变换 **题目**: 已知信号的拉普拉斯变换为 \(F(s) = \frac{1}{(s^2 + 1)(s - 1)}\)，求该信号的傅里叶变换 \(F(j\omega)\)。 **解答**: 对于给定的拉普拉斯变换 \(F(s) = \frac{1}{(s^2 + 1)(s - 1)}\)，若要计算其傅里叶变换，需要保证其收敛域包含虚轴。然而，在这个例子中，由于分母中含有一个实部为正的极点，这意味着信号 \(f(t)\) 包含了一个随时间增长的指数分量，导致其傅里叶变换不存在。 #### 1.8 离散时间系统的稳定性 **题目**: 已知一离散时间系统的系统函数 \(H(z) = \frac{1}{2 + z^{-1} - z^{-2}}\)，判断该系统是否稳定。 **解答**: 判断离散时间系统的稳定性通常基于系统的极点位置。对于给定的系统函数 \(H(z) = \frac{1}{2 + z^{-1} - z^{-2}}\)，可以通过重写为标准形式来确定极点的位置。系统的极点为 \(-1\) 和 \(2\)，由于其中一个极点的模大于 \(1\)，这表明系统是不稳定的。 #### 1.9 冲击信号的积分 **题目**: 计算积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty}(t^2 + 2t)\delta(-t + 1)dt\)。 **解答**: 根据单位冲击信号 \(\delta(t)\) 的性质，\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta(t - a)dt = f(a)\)。因此，给定的积分等于 \((1^2 + 2*1)\delta(0) = 3\)。 #### 1.10 频谱与信号的对称性 **题目**: 已知信号频谱可写为 \(F(j\omega) = A(\omega)e^{-j3\omega}\)，\(A(\omega)\) 是实偶函数，试问 \(f(t)\) 有何种对称性？ **解答**: 由于 \(A(\omega)\) 是实偶函数，且信号频谱 \(F(j\omega)\) 含有相移项 \(e^{-j3\omega}\)，这意味着信号 \(f(t)\) 关于 \(t=3\) 具有偶对称性。 ### 2. 计算题解析 #### 2.1 零状态响应的求解 **题目**: 已知连续时间系统的单位冲激响应 \(h(t)\) 与激励信号 \(f(t)\) 的波形如图 A-1 所示，试由时域求解该系统的零状态响应 \(y(t)\)，画出 \(y(t)\) 的波形。 **解答**: 零状态响应 \(y(t)\) 可以通过卷积 \(y(t) = f(t) * h(t)\) 来求解。具体来说，根据给定的波形图，可以先写出 \(f(t)\) 和 \(h(t)\) 的表达式，然后通过计算卷积得到 \(y(t)\) 的波形。 #### 2.2 单位脉冲响应的计算 **题目**: 在图 A-2 所示的系统中，已知 \(h_1(k) = \delta(k - 2)\)，\(h_2(k) = (0.5)^k\epsilon(k)\)，求该系统的单位脉冲响应 \(h(k)\)。 **解答**: 对于给定的系统结构，单位脉冲响应 \(h(k)\) 可以通过卷积 \(h(k) = h_1(k) * h_2(k)\) 来求解。根据给定的 \(h_1(k)\) 和 \(h_2(k)\) 的表达式，可以得到 \(h(k) = \delta(k) + (0.5)^{k-2}\epsilon(k-2)\)。 #### 2.3 周期信号的三阶函数表示 **题目**: 周期信号 \(f(t)\) 的双边频谱如图 A-3 所示，写出 \(f(t)\) 的三阶函数表示式。 **解答**: 根据图 A-3 中给出的双边频谱，可以写出 \(f(t)\) 的指数形式的傅里叶级数表达式。利用欧拉公式可以将复指数形式转换为三角函数形式，得到 \(f(t) = 2 + 4\cos(\omega_0t) + 2\cos(2\omega_0t)\)。 #### 2.4 系统响应的计算 **题目**: 已知信号 \(f(t) = \epsilon(t) - \epsilon(t - 1)\) 通过一线性时不变系统的响应 \(y(t)\) 如图 A-4 所示，试求单位阶跃信号 \(\epsilon(t)\) 通过该系统的响应并画出其波形。 **解答**: 因为 \(\epsilon(t) = f(t) + f(t-1) + \ldots + f(t-i) + \ldots\)，所以可以利用线性时不变系统的性质来求解单位阶跃信号 \(\epsilon(t)\) 通过系统的响应。根据图 A-4 中给定的 \(y(t)\) 波形，可以推断出 \(\epsilon(t)\) 通过该系统的响应波形。 #### 2.5 逆傅里叶变换求解信号 **题目**: 已知 \(f(t)\) 的频谱函数 \(F(j\omega) = Sgn(\omega + 1) - Sgn(\omega - 1)\)，试求 \(f(t)\)。 **解答**: 首先根据 \(F(j\omega) = Sgn(\omega + 1) - Sgn(\omega - 1)\) 的定义，可以将其重写为分段函数。然后根据逆傅里叶变换的公式，可以求出对应的信号 \(f(t) = \frac{2}{\pi}Sa(t)\)。 ### 3. 综合计算题解析 #### 3.1 微分方程的求解 **题目**: 一线性时不变因果连续时间系统的微分方程描述为 \(y''(t) + 7y'(t) + 10y(t) = 2f'(t) + 3f(t)\)。已知 \(f(t) = e^{-t}\epsilon(t)\)，\(y(0^-) = 1\)，\(y'(0^-) = 1\)。求零输入响应 \(y_x(t)\)，零状态响应 \(y_f(t)\)，完全响应 \(y(t)\)；系统函数 \(H(s)\)，单位冲激响应 \(h(t)\)，并判断系统是否稳定；画出系统的直接型模拟框图。 **解答**: 1. **零输入响应**、**零状态响应**和**完全响应**的求解需要首先将微分方程两边同时进行拉普拉斯变换，得到 \(s^2Y(s) - sy(0^-) - y'(0^-) + 7sY(s) - 7y(0^-) + 10Y(s) = (2s + 3)F(s)\)。然后求解 \(Y(s)\)，进一步求得零输入响应、零状态响应以及完全响应。 2. **系统函数** \(H(s)\) 可以通过 \(H(s) = \frac{Y(s)}{F(s)}\) 来计算，进而可以求出单位冲激响应 \(h(t)\)。 3. **稳定性**的判断可以通过检查 \(H(s)\) 的极点来完成。如果所有极点位于左半平面，则系统稳定。 4. **直接型模拟框图**的设计需要根据微分方程和系统的输入输出关系来构造。