没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
社会计算答案。 图论作为有效建模工具的原因之一即在于它的灵活性。许多大型系统都可 以通过图论语言来总结该系统的属性,并用来系统地研究其结构。本章练习的 第一部分,主要讨论上述过程的一个实例,该实例将引入一个关键节点 (pivotal node)的概念 首先,第 2 章所讲的两节点间最短路径可能为该节点间的最短距离。对与 节点组 Y和 Z,若 X存在于 Y和 Z间所有最短路径,则称 X为 Y和 Z间的关 键节点(X与 Y和 Z均不重合)。
资源推荐
资源详情
资源评论
1
《网络、群体与市场-揭示高度互联世界的行为原理与效应机制》
习题参考答案
第 2 章
2.1
图论作为有效建模工具的原因之一即在于它的灵活性。许多大型系统都可
以通过图论语言来总结该系统的属性,并用来系统地研究其结构。本章练习的
第一部分,主要讨论上述过程的一个实例,该实例将引入一个关键节点
(pivotal node)的概念。
首先,第 2 章所讲的两节点间最短路径可能为该节点间的最短距离。对与
节点组 Y 和 Z,若 X 存在于 Y 和 Z 间所有最短路径,则称 X 为 Y 和 Z 间的关
键节点(X 与 Y 和 Z 均不重合)。
例如:在图 2. 1 中,节点 B 是节点对 A 和 C、A 和 D 的关键节点(注意:
B 并不是节点对 D 和 E 的关键节点,因为 D 和 E 间存在两条不同的最短路径,
而其中的一条(包含 C 和 F)并不通过 B。由此可见,B 并不存在于 D 和 E 间
的所有最短路径)。另一个例子是:节点 D 并非图中任意节点对的关键节点。
图
2. 1
练习
2.1
示意图。节点
B
是两个节点对的关键节点:节点对
A
和
C
,以及
A
和
D
,而节点
D
并非
图中任意节点对的关键节点
(1)请列举一个图例,使其满足以下条件:该图中每个节点均为至少一个
节点对的关键节点。请就你的答案给出合理解释。
(2)请列举一个图例,使其满足以下条件:该图中每个节点均为至少两个
节点对的关键节点。请就你的答案给出合理解释。
2
(3)请列举一个图例,满足以下条件:该图中包含至少 4 个节点,并存在
一个节点 X,它是图中所有不包括含 X 的节点对的关键节点。请就你的答案给
出合理解释。
参考答案:
两个节点 Y 和 Z 之间的关键节点 X:X 存在于 Y 和 Z 之间的所有最短路径
上。
(1)一个节点数大于或等于 5 的圈图(V-W-X-Y-Z-V)满足“每个节点均
为至少一个节点对的关键节点”的要求。例如,对于 5-圈,W 和 Y 之间的最短
路径只有一条(长度为 2),经过 X。其他类推。
(2)一个节点数大于或等于 7 的圈图(R-U-V-W-X-Y-Z-R)满足“每个节
点均为至少两个节点对的关键节点”的要求。例如,对于 7-圈,W 和 Y 之间的
最短路径只有一条(长度为 2),经过 X,V 和 Y 之间的最短路径只有一条(长
度为 3),也经过 X。其他类推。
(3)以 X 为中心的 5 节点“星图”(A-X,B-X,C-X,D-X)满足要求,
此时 X 就是每个节点对的关键节点,任何两个节点之间的路径都经过它。
2.2
接下来的问题中,我们将引入一组相关定义,以帮助我们规范化“一些节
点可在网络中起到“看门”的作用”这一概念。第一个定义内容如下:对于节
点 X,若存在另两个节点 Y 和 Z,使 Y 和 Z 间的所有路径均通过 X,则称 X 为
门卫(gatekeeper)。举例来说,图 2. 2 中,节点 A 即为一个看门节点,因为存
在于节点 B 到 E 的所有路径中(除此之外,A 还存在于其他节点组间的所有路
径中,比如 D 和 E 等 )。
该定义具有一个“普遍”特点:因其需要我们纵观整个图,以确定某一特
定节点是门卫。相比之下,另一“本地化”版本将上述定义的条件限定于只需
观察一个节点的相邻节点。我们将之规范化,即有以下定义:我们定义一个节
点 X 为局部门卫,若其满足以下条件:存在节点 X 的两个相邻节点,称为 Y 和
Z,其中间没有任意边相连。(换句话说,X 为局部门卫的前提是,至少存在 X
的两个相邻节点 Y 和 Z,满足 Y 和 Z 分别有边与 X 相连,但彼此并不相连的条
件。)例如图 2. 2 所示,节点 A 同时满足门卫和局部门卫的条件,而节点 D 仅
为局部门卫,却不满足门卫的条件。(注意:尽管 D 的两个相邻节点 B 和 C 彼
此并没有边相连,但对于包括 B 和 C 在内的所有节点组之间,均存在一条不包
含 D 的路径。)
3
图
2. 2
练习
2.2
示意图。节点
A
是门卫,节点
D
是局部门卫而非门卫
综上所述,我们目前得到两个定义:门卫和局部门卫。每当我们讨论新
的数学定义时,一个有效帮助我们理解定义的方法通常是先从典型例子入手,
随后将之理论化,再尝试将该理论应用于其他例子。让我们按以上方法来讨论
下面几道问题:
(1)给出一个图例(包含解释),满足条件:该图中超过一半的节点为门
卫;
(2)给出一个图例(包含解释),满足条件:该图中所有节点均不是门卫,
但均为局部门卫。
参考答案:
按照给出的定义,“门卫”和“局部门卫”的概念,可以与教材中的“桥”
与“捷径”类比。“门卫”亦即这样的节点,删除它,至少有两个原来之间存在
路径的节点不再有路径;“局部门卫”则是这样的节点,删除它,至少有两个原
来是其邻居的节点之间的距离不小于 2。根据这个理解,就有(1)5 个节点的
路径图,A-B-C-D-E,其中 3 个节点(B、C、D)是门卫;(2)4 个节点的回路
图,A-B-C-D-A,显然都不是门卫,因为任意两个节点之间都有两条独立的通
路,而且每个节点都是局部门卫,因为任何一个节点的两个邻居节点之间都不
存在一条边。
2.3
当我们试图就一个已知图中节点间的距离寻找一个单一的综合衡量标准时,
有两个原始数量值得我们考虑。一个是
直径
,我们定义它为图中任意两节点之
间的最大距离;另一个是
平均距离
,我们定义它为图中所有节点对间的平均距
离。
4
在许多图中,上述两个数量在数值上非常接近。但以下的两个例子却可能
是例外:
(1)请给出一个直径比平均距离大三倍的图例;
(2)请根据你解答问题(a)的方法,说明你可以通过改变某一特定因数
的大小,来控制直径比平均距离大的倍数。(换句话说,对于任意数字 c,你能
否构造一个图,使其直径比平均距离大 c 倍?)
参考答案:
在给定点和边资源的情况下,路径图
m
P
的直径最长
( 1)
m -
,完全图
n
K
的
直径最短(1)。于是我们可以一般地考虑这个问题,考虑一个图
1nm
GK P
+
=+
,
表示
1n +
个节点的完全图加上一条长度为
( 1)
m
-
的“辫子”,整个图有
nm+
个节点,
1n
K
+
和
m
P
共有一个节点。不难看出,这个图的直径是
m
。下面考虑
“平均距离”,分三个部分,
n
K
内部的节点之间(此时不算与
m
P
的共同节点),
m
P
内部的节点之间,以及
n
K
和
m
P
的节点之间。稍作计算,可知这三部分的平
均距离分别为 1,
1
3
m +
和
1
2
m +
,也就是独立于
n
。对于
1m >
,总体的平均
距离大于 1,记为 A。在给定
m
的情况下,增加
n
,A 将减小,且趋于 1。于是
当我们考虑构造一个直径大约是平均距离
C
倍的图的时候,可以利用上述结论,
即取
1mC=+
,然后选择足够大的
n
,使得,
1
1
C
A
C
+
<<
,也就是
1 ( 1)CA C C A< +< +
。(下面是一个详细推导)
因图中一共有
nm+
个节点,于是有 个节点对。
分三种情况:(1)
1n
K
+
除去那个共有节点,即 K
n
中所有节点对的距离都为 1,
一共有 。( 2)
m
P
的
m
个节点(包括与 K
n
+
1
共有的那个),一共有
个距离,和为
,它们
之间的平均距离也就是
1
3
m +
,与
n
无关
。( 3)
n
K
和
m
P
之间,则有
nm
个距离,
和为
,它们之间的平均距离为
1
2
m +
,也是与
n
无
关
。也就是说,我们要考察平均距离
5
与直径
m
的关系(最右边的等号仅当
1m =
成立,从图的构造中,这也是
显然的)。我们看到,当给定
1m >
,
A
A
随
n
趋向于 1。也就是说,我们可以
构造直径是平均距离任意倍数(
C
)的图,例如,取
1mC=+
,则总有合适
的
n
,使
1 ( 1)CA C C A< +< +
。
第 3 章
3.1
用两三句话解释什么是三元闭包,以及它在社会网络形成中的作用。如果
有必要,可以用图例来说明。
参考答案
三元闭包指的是在社会网络中,若当前还不是朋友的两个人有了一个共同
朋友,则他们俩成为朋友的可能性增加。三元闭包是社会网络中由于网络结构
自身的特性促成新边形成的基本力量,它背后有机会、信任和动机三个方面的
原因。
3.3
如图 3. 2 所示的社会网络,每条边的属性不是强联系就是弱联系,哪些节
点满足第 3 章中讲述的强三元闭包特性?哪些不满足这个特性?请解释你的答
案。
图
3. 1
用于练习
3.3
的图,其中的边带有强弱联系标记
剩余39页未读,继续阅读
资源评论
a53ab678
- 粉丝: 2
- 资源: 1
上传资源 快速赚钱
- 我的内容管理 展开
- 我的资源 快来上传第一个资源
- 我的收益 登录查看自己的收益
- 我的积分 登录查看自己的积分
- 我的C币 登录后查看C币余额
- 我的收藏
- 我的下载
- 下载帮助
最新资源
- 【岗位说明】机修车间岗位职责.docx
- 【岗位说明】汽车4S店各岗位职责.doc
- 【岗位说明】4S店品牌项目部服务员岗位说明书.doc
- 【岗位说明】汽车保养店店长岗位职责.docx
- 【岗位说明】汽车4S店岗位职责说明书.xls
- 【岗位说明】汽车修理工岗位职责.doc
- 【岗位说明】汽车4S店展厅经理岗位职责.doc
- 【岗位说明】艾蒂诺珠宝市场督导岗位职责.doc
- 【岗位说明】杭州十一郎珠宝公司企划部人员岗位职责.doc
- 【岗位说明】珠宝顾问岗位职责.doc
- 【岗位说明】珠宝店长岗位职责01.doc
- 【岗位说明】珠宝行业组织架构及岗位职责01.doc
- 【岗位说明】珠宝零售门店各岗位财务管理职责.doc
- 【岗位说明】珠宝专卖店店长工作职责.doc
- 【岗位说明】珠宝行业组织架构及职责.doc
- 【岗位说明】珠宝销售员岗位职责.doc
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议,欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理!
点击此处反馈
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
信息提交成功