2008-12-14
习 题 6—3
1．证明函数组 ，
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
00
0
)(
2
1
x
xx
x
当
当
ϕ
2
2
0 0
()
0
x
x
xx
ϕ
≥
⎧
=
⎨
<
⎩
当
当
，在区间 上
线性无关，但它们的朗斯基行列式恒等于零。这与本节的定理 6.2*是否矛盾？
如果并不矛盾，那么它说明了什么？
),( +∞−∞
证 设有
11 2 2
() 0cxc
ϕ
ϕ
+≡
+
∞
<
<
∞
−
x
，则当 时，有 ，
从而推得 。而当 时，有
0≥x
2
12
00cx c+≡
0
1
=c
0<x
12
0ccx0
⋅
+≡，从而推得 。因此在
0
2
=c
+∞<<∞−
x
上，只有 时，才有
0
21
== cc
11 2 2
() () 0cxc x
ϕ
ϕ
+
≡ ，故
12
(), ()
x
x
ϕ
ϕ
在
上线性无关。 又当 时，
),( +∞−∞
0≥x
0
0
0
2
)(
2
≡=
x
x
xw
，当
0
<
x
时，
0
2
0
0
)(
2
≡=
x
x
xw
故当 +∞<<∞−
x
时，有 。这与本节定理 6.2 不矛盾，因为定理 6.2*成
立对函数有要求，即
0)( ≡xw
)(
1
x
ϕ
，
)(
2
x
ϕ
是某个二阶齐次线性方程的解组。这说明不存
在一个二阶齐次线性方程，它以
)(
1
x
ϕ
，
)(
2
x
ϕ
为解组。
3．考虑微分方程
''
() 0yqxy+=
（1）设
)(xy
ϕ
=
与
)(xy
ψ
=
是它的任意两个解，试证
)(xy
ϕ
=
与
)(xy
ψ
=
的
朗斯基行列式恒等于一个常数。
（2）设已知方程有一个特解为 ，试求这方程的通解，并确定
x
ey =
() ?qx=
证： （1）在解
)(xy
ϕ
=
，
)(xy
ψ
=
的公共存在区间内任取一点
x
。由刘维尔公
式，有 （常数）
[]
)()()(),(
00
0
xwexwxxw
odx
x
x
=
∫
=
−
ψϕ
（2）由于 是方程的一个非零特解，故可借助刘维尔公式，求与之线
性无关的特解
x
ey =
xodx
x
x
edxe
e
ey
−∫−
−=⋅=
∫
2
11
2
2
，故方程的通解为
xx
ececy
−
+=
21
又由于 是方程的解，故有
x
ey = () 0
xx
eqxe
+
≡ ， 所以
() 1qx
=
−
。
4. （1）见课本 291 页的 Lemma 9.1；（2）见课后答案
5．设函数 和 是方程
)(xu )(xv
'' '
() () 0ypxyqxy
+
+= （6.76）的一个基本解组，
1
