概率论思维导图第五章大数定律与中心极限定理
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2023-10-20
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⼤数定律与中⼼极限定理
⼤数定律
⼆者的联系和区别
中⼼极限定理
切⽐雪夫不等式
切⽐雪夫⼤数定律
伯努利⼤数定律
⾟钦⼤数定律
独⽴同分布的中⼼极限定理
李雅普诺夫定理
设随机变量X服从参数为n，p（0<P<1)的⼆项分布，则有
设随机变量 , ,…， ,…相互独⽴，服从同意分
布，且具有数学期望E( ）= ，k=1，2，…，则对于
任意正数ε，有 {| — |<ε}=1
X
1
X
2
X
n
X
k
μ
lim P
n→∞
n
1
X ∑
k=1
n
k
μ
概念：设随机变量X存在有限⽅差D(X),则对任意ε>0,有
P{|X—E(X)|≥ε}≤
ε
2
D(X)
设 是n次独⽴重复事件中事件A发⽣的次数，p是事件A
在每次试验中发⽣的概率，对于任意正数ε，
{| —P|<ε}=1,
或 {| —P|≥ε}=0
n
A
lim P
n→∞
n
n
A
lim P
n→∞
n
n
A
设 , …是相互独⽴的随机变量序列，各有数学期望
E( ),E( ),…及⽅差D( ),D( )…，并且对于i=1，
2，…，都有D( ）<l,其中l是与i⽆关的常数，则对于任
给的ε>0,有 {| —
|<ε}=1
X
1
X
2
X
1
X
2
X
1
X
2
X
i
lim P
n→∞
n
1
X
∑
i=1
n
i
n
1
E(X ）∑
i=1
n
i
特殊情况：设随机变量 , ,…， ，…相互独⽴，
且具有相同的数学期望和⽅差：E( )= ,D( ）=
,k=1，2，…
作前n个随机变量的算术平均 = ，则对于任
意正数ε，有 {| — |<ε}=1
X
1
X
2
X
n
X
k
μ X
k
σ
2
Y
n
n
1
X
∑
k=1
n
k
lim P
n→∞
Y
n
μ
⼤数定律讲的是样本均值收敛到总体均值，说⽩了就是期
望。⽽中⼼极限定理告诉我们，当样本⾜够⼤时，样本均
值的分布会慢慢变成正态分布
⼆者都总结的是在独⽴同分布条件下的随机变量平均值的
表现
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