### 离散数学课后习题答案解析
#### 第1章 习题解答概览
根据提供的部分内容，我们可以了解到该章节主要涉及离散数学的基本概念，包括命题、简单命题和复合命题的概念及其真值判断等内容。下面我们将对这部分内容进行详细解析。
### 命题与简单命题
**定义**：
- **命题**是指能够判断真假的陈述句。
- **简单命题**是指不含其他命题成分的命题。
- **复合命题**是指由一个或多个简单命题通过逻辑联结词（如“且”、“或”、“非”等）组合而成的命题。
#### 例题解析
**题目**：
判断下列句子是否为命题，并进一步区分其为简单命题还是复合命题。
1. （1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）简单命题
2. （6），（7），（12），（13）复合命题
3. （3），（4），（5），（11）非命题
**解析**：
- （3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，这些都不是陈述句，因此不是命题。
- （4）虽然是陈述句，但由于其表达的意思没有确定的真假性，因此也不是命题。
- （1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因此是简单命题。
- （6）和（7）由“当且仅当”联结，（12）由“或”联结，（13）由“且”联结，因此这些是复合命题。
### 命题的真值
**定义**：
- **真值**是指命题的真实性状态，通常分为“真”（T）和“假”（F）两种状态。
- 不论当前是否能确定命题的真假，命题的真值总是唯一确定的。
#### 例题解析
**题目**：
给出下列命题的真值：
1. \(p\) 是无理数，\(p\) 为真命题。
2. \(p\) 能被2整除，\(p\) 为假命题。
3. \(p \rightarrow q\)，其中 \(p\) 表示2是素数，\(q\) 表示三角形有三条边。
4. \(p \rightarrow q\)，其中 \(p\) 表示雪是黑色的，\(q\) 表示太阳从东方升起。
5. \(p\) 表示2000年10月1日天气晴好。
6. \(p\) 表示太阳系外的星球上的生物。
7. \(p\) 表示小李在宿舍里。
8. \(p \vee q\)，其中 \(p\) 表示4是偶数，\(q\) 表示4是奇数。
9. \(p \vee q\)，其中 \(p\) 表示4是偶数，\(q\) 表示4是奇数。
10. \(p\) 表示李明与王华是同学。
11. \(p\) 表示蓝色和黄色可以调配成绿色。
**解析**：
- （1）\(p\) 是无理数为真命题。
- （2）\(p\) 能被2整除为假命题。
- （3）\(p\) 和 \(q\) 都是真命题，因此 \(p \rightarrow q\) 也为假命题。
- （4）\(p\) 为假命题，\(q\) 为真命题，因此 \(p \rightarrow q\) 为假命题。
- （5）虽然现在不知道2000年10月1日天气如何，但该命题的真值是确定的。
- （6）（7）同样，虽然无法立即判断真值，但其真值是客观存在的。
- （8）由于 \(q\) 为假命题，所以 \(p \vee q\) 为真命题。
- （9）同上，\(p \vee q\) 为假命题。
- （10）（11）这些命题的真值取决于实际情况，但它们的真值是确定的。
### 符号化练习
**题目**：
令 \(p = 4 + 2 = 6\), \(q = 3 + 3 = 6\)，则以下命题分别符号化为：
1. \(q \rightarrow p\)
2. \(\neg q \rightarrow p\)
3. \(q \rightarrow \neg p\)
4. \(\neg q \rightarrow \neg p\)
5. \(q \leftrightarrow p\)
6. \(\neg q \leftrightarrow p\)
7. \(q \rightarrow \neg p\)
8. \(\neg q \leftrightarrow \neg p\)
**解析**：
- （1）、（3）、（4）、（5）、（8）为真命题，其余为假命题。
- 对于蕴含式 \(q \rightarrow p\) 和等价式 \(q \leftrightarrow p\) 的真值判断，需要根据 \(p\) 和 \(q\) 的真值情况来判断。由于 \(p\) 和 \(q\) 都是真命题，因此蕴含式（1）、（3）、（4）、（5）和等价式（8）为真命题。
- 特别地，对于（2）\(r \rightarrow p\) 的情况，当 \(p\) 为真时，\(r\) 一定为假，因此 \(r \rightarrow p\) 为假；当 \(p\) 为假时，无论 \(r\) 为真还是为假，\(r \rightarrow p\) 为真。
通过以上解析，我们可以看到离散数学中关于命题逻辑的基本概念和应用方法。这些基本概念对于后续学习和理解更复杂的逻辑问题非常重要。
