最小二乘参数估计是统计学和信号处理领域中常用的一种估计方法，主要用于在存在测量误差的情况下确定模型参数。递推算法则是一种动态更新参数的方法，它在每一步新数据到来时，通过先前的信息来更新参数估计，从而实现对模型参数的连续估计。这种算法在实时系统和大数据流处理中具有重要意义，因为它避免了存储所有历史数据的需求。
在描述中提到的场景中，我们有两个数据列，左列是输出数据，右列是输入数据，这通常对应于一个系统的响应和输入信号。假设我们有一个线性模型，可以表示为：
\[ y_t = a x_t + b + e_t \]
其中，\( y_t \) 是第 \( t \) 时刻的输出数据，\( x_t \) 是对应的输入数据，\( a \) 和 \( b \) 是待估计的模型参数（斜率和截距），而 \( e_t \) 表示第 \( t \) 时刻的随机误差项，通常假设是独立同分布的白噪声，即零均值且方差恒定。
最小二乘法的目标是最小化误差平方和：
\[ J(a, b) = \sum_{t=1}^{T}(y_t - (a x_t + b))^2 \]
其中，\( T \) 是总的数据点数。通过求解这个函数的梯度为零，我们可以得到闭式解来估计参数 \( a \) 和 \( b \)。然而，在递推算法中，我们并不一次性计算所有数据点的误差，而是逐次迭代更新参数。
递推最小二乘（RLS）算法的基本思想是在每次新数据点到来时，通过加权过去的数据点来更新当前的参数估计。其核心公式如下：
1. 初始化参数估计 \( \hat{a}_0, \hat{b}_0 \) 和逆协方差矩阵 \( P_0 \)。
2. 对于每个新数据点 \( (x_t, y_t) \)，执行以下步骤：
a. 更新预测值：\( \hat{y}_t = \hat{a}_{t-1} x_t + \hat{b}_{t-1} \)
b. 计算误差：\( e_t = y_t - \hat{y}_t \)
c. 更新逆协方差矩阵：\( P_t = P_{t-1} + x_t x_t^T \)
d. 更新参数估计：\( K_t = P_t x_t^T (x_t x_t^T + \lambda I)^{-1} \)，其中 \( \lambda \) 是遗忘因子，\( I \) 是单位矩阵
e. 更新参数：\( \hat{a}_t = \hat{a}_{t-1} + K_t e_t x_t \)，\( \hat{b}_t = \hat{b}_{t-1} + K_t e_t \)
在这个过程中，遗忘因子 \( \lambda \) 控制了旧数据对当前估计的影响，当 \( \lambda \) 接近 0 时，算法更注重最近的数据，而 \( \lambda \) 接近 1 时，旧数据的影响较大。
在实际应用中，白噪声数据通常意味着误差项具有恒定的方差，这对于最小二乘估计是理想的条件。递推算法的优势在于它能够高效地处理大规模数据流，而且不需要存储所有历史数据，只保留当前的参数估计和逆协方差矩阵即可。
通过分析提供的压缩包文件中的数据，我们可以运用递推最小二乘算法来逐步估计模型参数，进而分析输入和输出数据之间的关系，揭示系统的动态特性。这种方法在许多领域都有应用，例如控制系统、通信信号处理和时间序列分析等。
