### MATLAB层次分析法详解
#### 一、层次分析法(AHP)概述
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种结合了定性和定量分析的方法，它由美国运筹学专家Thomas L. Saaty教授在20世纪70年代末提出。该方法主要用于解决复杂的决策问题，在决策过程中考虑到各个因素之间的层次关系以及不同因素之间的相对重要性。
#### 二、预备知识
**1. 正互反矩阵**
- 定义：设有一个矩阵\[A = (a_{ij})_{n \times n}\]，如果其元素满足\[a_{ij} \cdot a_{ji} = 1\]且\[a_{ii} = 1\]，那么称\[A\]为正互反矩阵。
- 示例：\[A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1/3 & 1 \end{pmatrix}\]
**2. 一致阵**
- 定义：如果矩阵\[A = (a_{ij})_{n \times n}\]同时满足以下条件：
- 是正互反矩阵
- 满足\[a_{ij} = a_{ik} / a_{jk}\]
- 示例：\[A = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 2 & 1 & 1/2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]
**3. 一致阵的性质**
- 特征值：一致阵的最大特征值等于其维数\[n\]，其余特征值均为0。
- 特征向量：如果\[A\]是一致阵，那么其最大特征值对应的特征向量可以用来表示各个因素的相对权重。
- 行列元素关系：一致阵的各行（列）元素成比例。
**4. 正互反矩阵的最大特征值与特征向量的求法**
- 幂法
- 初始化：选取一个初始向量\[w^{(0)}\]，并设置迭代次数和精度阈值\[ε\]。
- 迭代计算：\[w^{(k+1)} = \frac{Aw^{(k)}}{\|Aw^{(k)}\|}\]，直到满足收敛条件\[\|\lambda^{(k+1)} - \lambda^{(k)}\| < ε\]。
- 最大特征值\[λ\]和对应的特征向量\[w\]。
- 和法
- 归一化：将矩阵的列向量归一化。
- 求和：按行求和得到一个向量\[s\]。
- 归一化特征向量\[w = s / \|s\|\]。
- 示例：对于矩阵\[A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1/3 & 1 \end{pmatrix}\]，使用和法得到的特征向量\[w = (0.588, 0.322)^T\]。
#### 三、层次分析法的基本步骤
**1. 建立层次结构模型**
- 分层：将决策问题分为多个层次，如目标层、准则层和方案层。
- 构建模型：利用层次结构图表示决策问题的各个方面。
**2. 构造判断矩阵**
- 选择因素：根据决策问题的需要，确定各个层次的元素。
- 成对比较：对同一层次内的元素进行两两比较，构建成对比较矩阵。
**3. 权重计算**
- 一致性检验：确保成对比较矩阵具有一致性或接近一致性。
- 权重分配：基于成对比较矩阵的最大特征值和特征向量，计算出各因素的权重。
**4. 应用实例**
- 例：选择旅游目的地
- 层次结构：目标层（选择旅游地）、准则层（景色、费用等）、方案层（桂林、黄山等）。
- 成对比较矩阵：通过1-9尺度评估各因素的相对重要性。
- 权重计算：利用上述方法计算每个因素对最终决策的权重。
- 决策结果：综合所有权重后得出最佳旅游目的地。
### 结论
层次分析法是一种有效的多准则决策工具，尤其适用于需要综合考虑多种因素的情况。通过将复杂的问题分解为层次结构，并利用成对比较矩阵来评估各因素的重要性，该方法能够帮助决策者更加系统地做出决策。在实际应用中，通过MATLAB等工具可以方便地实现层次分析法的计算过程，进一步提高了决策效率和准确性。
