mathorcup数学建模挑战赛获奖论文-第四届A题

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题目：“2048”游戏的数学基础及其取胜策略研究

摘要

近期，有一款名为“2048”的策略益智游戏风靡网络。其简单的规则使游戏

易于上手，却又蕴含不少数学知识使人难以获胜。本文从无计算机辅助分析和有

计算机辅助分析两个角度，建立了两个求解“2048”问题的模型，并通过数学方

法求得了 2048 所能玩到的最大方格数，且将结论推广到

NN

的情况。

针对问题一，我们首先通过逻辑分析建立了无计算机辅助的初等策略模型，

之后又在此基础上运用博弈论的方法建立了有计算机辅助的博弈策略模型。在初

等策略模型中，我们得到了“ 2048”游戏中合成

需要的步数及至少需要的空间，

进而证明了游戏中将方格按 S 形递减排列的稳定性，从而提出了玩家在游戏中必

须采用的取胜策略。在博弈策略模型中，我们将“2048”游戏以博弈论的视角进

行解读，建立了描述游戏过程的博弈论模型，并参考极小极大化算法和 alpha-beta

剪枝的思路，通过建立静态估价函数，借助计算机辅助试验，分析玩家的最优决

策。该方法的成功率达到了 72%，平均成功操作步数为 895 步。

针对问题二，我们首先分析得到了一个重要的结论：游戏所能达到的最大方

格数值仅与游戏本身有关。之后，通过反证法和数学归纳法得出，在

44

的情况

下，当系统最后出现 4 时得到最大数值，为 131072，在

NN

的情况下，当系统

最后出现 4 时得到最大数值，为

NN

。

关键字：策略益智游戏；博弈论；静态估价函数；历史启发

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差值，以期得到数值相同、位置相邻的方块，从而通过抵消增加局面中方块的最

大值，并增加空白方格的数目。

2.1.2．“2048”取胜策略问题的解决思路

根据上一小节的分析，我们得到了“2048”问题的实质，因此，解决“2048”

问题，也就是要解决上一小节提到的五个小问题。对此,我们首先将从定性分析

的角度建立了玩家在无计算机辅助情况下的初等策略模型，其包含了一系列独立

的策略，玩家依据这些策略进行游戏；之后,我们将结合博弈论、动态规划的一

些思想，融合最小最大化算法和 alpha-beta 剪枝的方法，参考无计算机辅助的

初等模型的思路，建立一个有计算机辅助的博弈策略模型，从而解决该问题。

2.2．“ 2048”最大值问题的分析

2.2.1.“2048”最大值问题的实质

从人机博弈的角度来看，“2048”游戏所能达到的最大值问题，实质是在假

设玩家采取全局最优策略且系统时刻作出有利于玩家的决策的情况下，分析游戏

所能达到的最终局面。

2.2.2.“2048”最大值问题的解决思路

由于在分析最大值问题的时候，已经假设玩家采取的是全局最优策略，且系

统也采取有利于玩家的决策，故游戏的最终局面已经与游戏的过程没有关系，而

仅与游戏本身的性质相关。所以我们可以单纯的通过分析游戏的性质（包括各种

限制），用纯数学的方法得到该问题的解答。也正因为该问题仅与游戏本身的性

质相关，故很容易将结论推广到

NN

的情形。

5. 模型的建立与求解

5.1 问题一的模型及求解

5.1.1.无计算机辅助的初等策略模型

（1）重要的结论

定理 5.1.1.在“2048”游戏中，若只出现 2，则合成

至少需要

k



步；若只

出现 4，则合成

至少需要

k



证明：用数学归纳法，易得。

定理 5.1.2. 在“2048”游戏中，若只出现 2，则合成

至少需要

个格子；若只

出现 4，则合成

至少需要

1k 

个格子.

证明：用数学归纳法。以只出现 2 为例，显然，当 k=1 时成立；假设当 k=p 时

成立，则当 k=p+1 时，为了合成

p

，需要两个相邻的

，我们首先合

成一个

，使用了 p 个格子；再合成一个

，使用了 p 个格子。由于在

合成第二个

时，第一个合成好的

占据了一个格子，所以合成

p 

总

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