mathorcup数学建模挑战赛获奖论文-第四届A题_10466c.pdf

### "mathorcup数学建模挑战赛获奖论文-第四届A题_10466c.pdf" 知识点解析 #### 一、比赛背景与论文概述 - **mathorcup数学建模挑战赛**是一项面向全国大学生的高水平数学建模竞赛活动。此竞赛旨在促进学生对数学建模的兴趣与能力，同时也为广大学生提供了一个展示自己数学建模成果的平台。 - **论文题目**：“2048”游戏的数学基础及其取胜策略研究 - **研究对象**：“2048”是一款基于数字2的幂次运算的游戏，玩家通过移动棋盘上的数字方块来进行游戏，目的是合成数字2048的方块。 #### 二、问题重述与研究目标 - **问题重述**：探讨“2048”游戏的数学基础及其取胜策略，包括如何最大化当前局面的最大数值、如何利用有限的空间以及如何优化方格之间的数值关系。 - **研究目标**： - 建立无计算机辅助和有计算机辅助两种策略模型，分析并提高获胜概率。 - 探讨游戏所能达到的最大方格数值。 #### 三、模型建立与分析 ##### 1. 模型建立 - **无计算机辅助的初等策略模型**： - **理论分析**：基于逻辑分析，确定玩家在特定局面下采取的最佳行动方案。 - **策略指导**：提出玩家在游戏中必须采用的取胜策略，例如将方格按S形递减排列。 - **有计算机辅助的博弈策略模型**： - **博弈论应用**：将“2048”游戏视为一个动态博弈过程，利用博弈论中的极小极大化算法和alpha-beta剪枝技术。 - **计算机模拟**：通过建立静态估价函数，模拟玩家的最佳决策路径。 ##### 2. 最大方格数值研究 - **分析结论**：游戏所能达到的最大方格数值仅与游戏本身的规则和初始条件有关。 - **证明方法**：采用反证法和数学归纳法得出，在4×4的情况下，当系统最后出现4时得到最大数值为131072；对于N×N的情况，当系统最后出现4时得到最大数值为12^(N+1)。 #### 四、模型假设与符号说明 - **模型假设**： - 游戏版本保持一致。 - 不允许玩家使用反悔策略。 - 获胜后可以继续游戏。 - 可使用计算机辅助分析。 - **符号说明**： - \(G_k\)：第k轮游戏。 - \(S_k\)：第k轮游戏开始时的局面。 - \(X_k\)：第k轮游戏玩家做出的决策。 - \(Y_k\)：第k轮游戏系统做出的决策。 - \(f(k)\)：玩家在第k轮游中的决策函数。 - \(V(.)\)：静态估价函数。 - \(n_k\)：\(S_k\)的空白方格数。 - \(stdg_k\)：\(S_k\)中方格数值的标准差。 - \(\mathbf{\kappa}\)：对应于局面\(S_k\)的序列。 #### 五、问题分析 - **取胜策略问题实质**：如何通过提升当前局面的最大值、利用有限的空间以及优化方格之间的数值关系来实现游戏胜利。 - **具体分析**： - **提升当前局面最大值**：通过合理的布局和移动策略，尽可能增加最大数值方块的数量。 - **空间利用**：合理规划移动策略，确保有足够的空间用于后续的数字合并。 - **数值关系优化**：通过对数值分布的研究，找到最佳的数值组合方式，以减少不必要的数字合并，从而提高最大数值方块的可能性。 #### 六、总结 本论文通过建立不同的模型，不仅探索了“2048”游戏的取胜策略，还深入研究了游戏能达到的最大方格数值。这些研究成果不仅有助于玩家理解游戏的本质，也为数学建模爱好者提供了宝贵的学习资源。此外，该研究还展示了如何将复杂的数学理论应用于解决实际问题，为其他领域的研究者提供了参考案例。