数学建模-7第七章 对策论.zip

在数学建模中，第七章通常会探讨对策论，这是一个重要的数学分支，它研究在冲突或合作情境下决策者如何做出最优选择。对策论源于博弈论，广泛应用于经济学、军事战略、社会科学以及计算机科学等领域。在这个章节中，我们可能会深入学习以下几个核心概念： 1. **基本概念**：我们需要理解基本的术语，如玩家（Player）、策略集（Strategy Set）、支付矩阵（Payoff Matrix）和均衡（Equilibrium）。玩家是参与决策的个体，每个玩家有一系列可能的策略，而支付矩阵描述了每个策略组合下的收益。 2. **零和博弈与非零和博弈**：在零和博弈中，一方的收益等于另一方的损失，总收益为零。例如，棋类游戏就是典型的零和博弈。而非零和博弈中，双方可能存在共赢或共输的情况，总收益不为零。 3. **纳什均衡**：这是对策论中最著名的概念，由约翰·纳什提出。在纳什均衡中，每个玩家选择的策略都是对其对手策略的最佳响应，即使改变自己的策略也无法提高自身的期望收益。在支付矩阵中，这表现为每个玩家的策略选择都是无法单方面改变的。 4. **鞍点**：在二维的零和博弈中，纳什均衡通常对应于支付矩阵中的鞍点，即一个玩家的最大收益对应于另一个玩家的最小收益。然而，不是所有博弈都有鞍点，也不是所有纳什均衡都能通过这种方式直观地找到。 5. **混合策略**：在某些情况下，纯策略（即只选择一个确定的策略）不足以形成纳什均衡，此时玩家可能需要使用混合策略，即概率性地选择多个策略。混合策略纳什均衡要求每个玩家对其他所有玩家的混合策略的期望收益都达到最大。 6. **扩展形式博弈**：当策略集变得复杂时，可以用扩展形式来表示博弈，它包括玩家、状态空间、信息集、行动集和支付函数。这种表示方式有助于处理动态博弈和不完全信息博弈。 7. **重复博弈**：在现实生活中，很多决策问题并非一次性解决，而是重复进行。重复博弈理论探讨了长期关系下的策略选择，如囚徒困境的重复版本，玩家会考虑长期后果，以寻求合作而非短期最大化收益。 8. **合作博弈与联盟**：在某些博弈中，玩家可以结成联盟以共同对抗其他玩家。合作博弈理论研究如何分配联盟收益，如通过Shapley值或核心来确定公平的分配方案。 9. **进化博弈论**：这是一种将生物学演化思想引入对策论的方法，研究在群体中不同策略的相对适应性和生存概率。最著名的例子是进化稳定策略（Evolutionarily Stable Strategy, ESS），在一定条件下，ESS策略无法被群体内的其他策略取代。 在数学建模中，学习和应用这些概念可以帮助我们分析复杂的问题，预测和优化决策结果。通过对策论，我们可以更好地理解和模拟现实生活中的竞争与合作现象，为政策制定、市场分析、资源分配等提供科学依据。