根据给定的信息，我们深入探讨运筹学中的线性规划(LP)问题，特别是刁在筠版运筹学第三版中的几个实例。以下是对题目中提到的三个主要知识点的详细解析：
### 知识点一：线性规划问题的构建与求解
线性规划是一种优化技术，用于找到一组变量的最优值，这些变量满足一组线性不等式或等式的约束条件，并且目标函数是线性的。题目中给出的第一个例子展示了如何构建和求解一个线性规划问题。
#### 构建过程：
1. **定义决策变量**：题目中定义了决策变量\(w_1, w_2, w_3, w_4\)。
2. **确定目标函数**：题目中的目标函数为\(\max{5w_1+3w_2+2w_3+4w_4}\)。
3. **列出约束条件**：约束条件包括\(5w_1+w_2+w_3+8w_4=10\)和\(2w_1+4w_2+3w_3+2w_4=10\)以及非负限制\(w_i \geq 0\)。
#### 求解过程：
通过应用线性规划的求解方法（如单纯形法或内点法），可以找到满足所有约束条件的目标函数的最大值。此过程可能涉及迭代计算，直到找到最优解。
### 知识点二：线性规划问题的对偶性
线性规划问题存在对偶概念，即每个原问题都有一个对应的对偶问题，两者的最优解相同。题目中第二个例子展示了如何构造一个线性规划问题的对偶问题。
#### 对偶问题构建：
1. **转换不等式**：原问题中的不等式约束转化为对偶问题中的变量非负或自由变量。
2. **转换矩阵**：将原问题的系数矩阵\(A\)转置得到对偶问题的系数矩阵。
3. **变换目标函数和约束**：对偶问题的目标函数由原问题的约束向量\(b\)决定，而约束条件则由原问题的目标向量\(c\)确定。
#### 解释：
对偶问题提供了一种检查原问题解的有效性和稳定性的方法，同时在某些情况下可以直接求解对偶问题来间接获得原问题的解。
### 知识点三：单纯形法的应用
单纯形法是一种解决线性规划问题的经典算法，适用于标准形式的线性规划问题，其中所有变量非负，所有约束为等式。
#### 单纯形法步骤：
1. **设置初始基本可行解**：通常选择一个完全由松弛变量组成的解作为初始解。
2. **迭代求解**：选择一个非基变量作为进入基变量，同时选择一个基变量作为离开基变量，以改善目标函数值。
3. **停止条件**：当不存在任何非基变量的系数为正时，算法终止，此时的解即为最优解。
#### 实例分析：
题目中第三个例子展示了如何使用单纯形法求解一个具体的线性规划问题，包括建立初始表格、迭代过程以及最终求得的最优解。
以上三个知识点共同构成了理解并解决线性规划问题的基础框架，对于深入学习运筹学和优化理论至关重要。通过掌握这些原理和方法，可以有效地应用于各种实际问题中，如资源分配、生产计划、运输优化等领域。
