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模糊数学基本知识.pdf
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一.模糊数学的基础知识
1.模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合 A,对
x
,有
x A
或
x A
。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时,仅用特征函数就不够
了。模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0,1]闭区间内,取值的函
数以度量这种程度的大小,这个函数(记为
E ( x )
)称为集合
E
的隶属函数。即
对于每一个元素
x
,有[0,1]内的一个数
E ( x )
与之对应。
(1)模糊子集的定义:射给定论域 U,U 到[0,1]上的任一映射:
A : U [0,1], u A (u )( u U )
都确定了 U 上的一个模糊集合,简称为模糊子集。
A(u)
称为元素
u
属于模糊
集
A
的隶属度。映射所表示的函数称为隶属函数。
例 如 : 设 论 域 U=[0 , 100] , U 上 的 老 年 人 这 个 集合 就是模 糊 集 合 :
0
u 50
2 1
A (u )
(1 ( ) )
5
, u 50
,50 u 100
若在集合 U 上定义了一个隶属函数,则称
E
为模糊集。
(2)模糊集合的表示:
U {u
1
, u
2
,....., u
n
}
,
A(u)
称为元素
u
属于模糊集
A
的
隶属度;则模糊集可以表示为:
A
A(u
1
)
u
1
A(u
2
)
u
2
....
A(u
n
)
u
n
。
或
A {A(u
1
), A(u
2
),....., A(u
n
)}
,
A {(u
1
, A(u
1
)), (u
2
, A(u
2
)),....., (u
n
, A(u
n
))}
,
(3)模糊集合的运算:
A {A(u
1
), A(u
2
),....., A(u
n
)}
,
B {B (u
1
), B (u
2
),....., B (u
n
)}
,
并集:
A B { A(u
1
) B (u
1
), A(u
2
) B (u
2
),....., A(u
n
) B (u
n
)}
,
交集:
A B { A(u
1
) B (u
1
), A(u
2
) B (u
2
),....., A(u
n
) B (u
n
)}
,
补集:
A {1 A(u
1
),1 A(u
2
),....., 1 A(u
n
)}
,
c
包含:
若u U , 有A(u) B(u ),则有 A B
,
2.模糊集的截集
已知 U 上模糊子集
A : U [0,1], u A(u )( u U )
对
[0,1]
,则称
A
{u u U , A(u )
}
为模糊集
A
的
-截集;
称
A
{u u U , A(u )
}
为模糊集
A
的
-强截集;
称为
A
、
A
的置信
水平或阀值。
s
s
二.模糊数学的基本定理
1.模糊截积:
已知 U 上模糊子集
A : U [0,1], u A(u )( u U )
A
也是 U 上模糊集,对
[0,1]
, 其隶属函数为:
(
A)( u )
A(u ), ( u U )
;
称为
A
为
与
A
的模糊截积。
2.分解定理 1:已知模糊子集
A F (U )
,则
A
A
[ 0 ,1]
推论 1:对
u U ,
A(u ) {
[0,1], u A
}
3.分解定理 2:已知模糊子集
A F (U )
,则
A
A
S
[ 0 ,1]
推论 2:对
u U ,
A(u ) {
[0,1], u A
}
三.模糊关系与模糊聚类
1.模糊关系与模糊关系的合成
(1) 模糊关系
普通集合的经典关系,
模糊关系:从 U 到 V 上的一个模糊关系:
R : U V [0,1]
,
R (u
i
, v
j
)
表示
u
i
与 v
j
具有的关系程度,
u
i
U , v
j
V ( a
ij
) a a
ij
1)称为 U。
A
m n
(
ij
满足 0
S
到 V 上的一个模糊关系的模糊矩阵。
(2).设
A
=
(a
ij
)
n p
和
B
=
( B
ij
)
p m
为两个模糊矩阵,令
p
c
ij
=
(a
ik
b
kj
)
,
i
=1,2,„,
n
,
j
=1,2,„,
m
。
k 1
则称矩阵
C
=
(c
ij
)
n m
为模糊矩阵
A
与
B
的褶积,记为
C
=
A
B
,
其中“
”和“
”的含义为
a b max{ a , b} a b min{ a , b}
显然,两个模糊矩阵的褶积仍为模糊矩阵
2. 模糊等价矩阵及其
矩阵
设方阵
A
为以模糊矩阵,若
A
满足
A A
=
A
则称
A
为模糊等价矩阵。
模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性,即描述诸如“甲像乙,乙
像丙,则甲像丙”这样的关系。
设
A
=
(a
ij
)
n n
为一个模糊等价阵,0
1 为一个给定的数,令
a
(
)
ij
1, 若 a
ij
0, 若 a
ij
i, j 1,2,..., n ,
则称矩阵
A
(a
ij
(
)
)
nn
为
A
的
截阵
例如,
1
A
=
0.4
0.6
0.4
1
0.4
0.6
0.4
1
为一个模糊等价阵,取 0.4<
0 .6
,则
1
A
=
0
1
0
1
0
1
0
1
若取
0
0.4
,则
1
A
=
1
1
1
1
1
1
1
1
2.模糊聚类:
模糊划分的概念最早由 Ruspini 提出,利用这一概念人们提出了多种聚类方
法,比较典型的有:基于相似性关系和模糊关系的方法(包括聚合法和分裂法),
基于模糊等价关系的传递闭包方法、基于模糊图论最大树方法,以及基于数据集
的凸分解、动态规划和难以辨识关系等方法. 然而由于上述方法不适用于大数据
量情况,难以满足实时性要求高的场合,因此其实际的应用不够广泛,故在该方
面的研究也就逐步减少了. 实际中受到普遍欢迎的是基于目标函数的方法,该方
法设计简单、解决问题的范围广,最终还可以转化为优化问题而借助经典数学的
非线性规划理论求解,并易于计算机实现. 因此,随着计算机的应用和发展,该
类方法成为聚类研究的热点.
(1)模糊聚类的基本概念
模糊聚类目标函数的演化
模糊聚类方法
模糊聚类法和一般的聚类方法相似,先将数据进行标准化,计算变量间相似矩
阵或样品间的距离矩阵,将其元素压缩到 0 与 1 之间形成模糊相似矩阵,进一步
改造为模糊等价矩阵,最后取不同的标准
,得到不同的
截阵,从而就可以
得到不同的类。具体步骤如下:
第一步:数据标准化
1.数据矩阵
设论域
U { x
1
, x
2
,..., x
n
}
为被分类的对象,每个对象又由
m
个指标表示其性状:
x
i
{ x
i1
, x
i 2
,..., x
im
}
(
i 1,2,..., n
)
于是得到原始数据矩阵为
x
11
x
21
...
x
n1
x
12
x
22
...
x
2 n
...
...
...
...
x
1m
x
2 m
...
x
nm
2.数据标准化
在实际问题中,不同的数据一般有不同的量纲。为了使有不同的量纲的量也能
进行比较,通常需要对数据作适当的变换。但是,即使这样得到的数据也不一定
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