随机过程习题解答-.doc

习题 1

1. 令 X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当 EX(s)与 E[X(s)X(s+t)]

都不依赖 s.

证明：充分性：若 X(t)为宽平稳的，则由定义知

EX(t)=， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与 s 无关

必要性：若 EX(s)与 EX(s)X(s+t)都与 s 无关，说明

EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为 t 的函数

2. 记 ，．．．， 为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对 0 < t , x < 1

= t－ = t(1－t)

， cov =EI(t, )I(s, )－EI(t, )EI(s, )

= st－st=0

k = j ， cov = EI(t, )I(s, )－st

= min(t,s)－st

EX(t)= = = t

cov =

=

=

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=

为宽平稳过程.

4.Poisson 过程 满足（i） ；(ii)对 ， 服从均值

为 的 Poisson 分布；（iii）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方

差函数.它是宽平稳的吗？文档来自于网络搜索

Solution ，

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Cov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)

=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-

(1) 若 s+1<t, 即 s≤t-1，则 Cov(y(t),y(s))=0- =-

(2) 若 t<s+1≤t+1, 即 t>s>t-1, 则

Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] - 文档来自于网络搜索

=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))文档来自于网络搜索

+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))-

= (s+1-t)= - (t-s)-

(3) 若 t<s<t+1

Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- 文档来自于网络搜索

记 x(t)=z cos t+z sin t, t R,试证：x(t)是宽平稳的，它是严平稳吗？

证明：Ez =0, Ez =(-1) ×1/2+1 ×1/2=1/2+1/2=1=D(z )

Cov(z ,z )=0

Ex =0

cov(x ,x )=E(x ,x )=E(z cos tcos s+z sin tsin s+z z cos tsin s+z z

故 为宽平稳的。

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而

Solution:添加 ，同分布的条件。

9.令 X 和 Y 是从单位圆内的均匀分布中随机选取一点所得的横坐标和纵坐标，试计算条件

概率：P（ ）

Solution:

P（ ）

10.粒子依参数为 λ 的 Poisson 分布进入计数器，两粒子到达的时间间隔 T1，T2，…是独

立的参数为 λ 的指数分布随机变量。记 S 是[0,1]时段中的粒子总数，时间区间 I∈[0,1],其

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