3D Program 常用公式 3D Program 常用公式 3D Program 常用公式

根据提供的信息，我们可以总结出以下有关3D程序设计中的关键数学概念与公式： ### 一、向量运算 #### 1. 向量的标量积 - **定义**: 向量A与向量B的标量积表示为\( A \cdot B \)，计算公式为： \[ A \cdot B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z \] - **应用场景**: 在3D图形学中，标量积常用于计算向量之间的夹角、确定向量方向是否相同等。 #### 2. 向量的矢量积 - **定义**: 向量A与向量B的矢量积表示为\( A \times B \)，计算公式为： \[\begin{align*} A \times B & = \left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ \end{array} \right| \\ & = (A_yB_z - A_zB_y)i - (A_xB_z - A_zB_x)j + (A_xB_y - A_yB_x)k \end{align*}\] - **应用场景**: 矢量积用于求解法线向量、计算扭矩等物理场景中。 ### 二、变换矩阵 #### 1. 平移变换 - **定义**: 将三维空间中的点按照指定的向量\( t = [t_x, t_y, t_z] \)进行移动，变换矩阵为： \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\] - **应用场景**: 平移变换常用于物体的位置调整。 #### 2. 缩放变换 - **定义**: 按照比例因子\( s_x, s_y, s_z \)对物体进行放大或缩小，变换矩阵为： \[\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\] - **应用场景**: 缩放变换用于调整物体大小。 #### 3. 旋转变换 - **定义**: 绕坐标轴进行旋转，旋转角度分别为\( \alpha, \beta, \gamma \)（分别对应绕z轴、x轴、y轴旋转），变换矩阵为： \[\begin{align*} \text{绕z轴}: & \begin{bmatrix} \cos(\gamma) & -\sin(\gamma) & 0 & 0 \\ \sin(\gamma) & \cos(\gamma) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \text{绕x轴}: & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\beta) & -\sin(\beta) & 0 \\ 0 & \sin(\beta) & \cos(\beta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \text{绕y轴}: & \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & 0 & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & 0 & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align*}\] - **应用场景**: 旋转变换用于改变物体的方向。 #### 4. 透视变换 - **定义**: 模拟真实世界中的透视效果，变换矩阵为： \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/focus & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}\] - **应用场景**: 透视变换用于模拟远小近大的视觉效果，常用于渲染真实感图形。 ### 三、其他几何运算 #### 1. 逆纹理映射方程 - **定义**: 用于计算纹理坐标与三维坐标之间的映射关系。 \[\begin{align*} u & = \frac{(iV - O) \cdot V + (jV - O) \cdot U}{focus} \\ v & = \frac{(iU - O) \cdot V + (jU - O) \cdot U}{focus} \end{align*}\] - **应用场景**: 纹理映射用于提高模型表面的真实感。 #### 2. 直线方程 - **定义**: 描述一条直线，其中\( C \)为直线的方向向量，\( Q \)为直线上的一个点。 \[ X = Q + tC \] - **应用场景**: 用于计算光线与物体的相交点等。 #### 3. 平面方程 - **定义**: 描述一个平面，其中\( N \)为平面的法向量，\( P \)为平面上的一个点。 \[ (X - P) \cdot N = 0 \] - **应用场景**: 用于判断点是否位于平面上等。 #### 4. 球方程 - **定义**: 描述一个球体，其中\( M \)为球心位置，\( r \)为球的半径。 \[ (X - M)^2 = r^2 \] - **应用场景**: 用于检测碰撞等。 #### 5. 寻找直线与平面的交点 - **定义**: 根据直线方程和平面方程，可以求得交点坐标。 \[ X = Q + tC \quad \text{且} \quad (X - P) \cdot N = 0 \] - **应用场景**: 用于光线追踪算法中的光线与物体相交判断。 #### 6. 寻找直线与球的交点 - **定义**: 同样利用直线方程与球方程，求解得到交点坐标。 \[ X = Q + tC \quad \text{且} \quad (X - M)^2 = r^2 \] - **应用场景**: 用于光线追踪中的碰撞检测。 这些公式和原理是3D程序设计的基础，掌握它们对于开发高质量的3D应用至关重要。