RSA算法

/* RSA算法 1978年就出现了这种算法，它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。 它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, AdiShamir 和 Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。 RSA的安全性依赖于大数难于分解这一特点。公钥和私钥都是两个大素数（大于100个十进 制位）的函数。据猜测，从一个密钥和密文推断出明文的难度等同于分解两个大素数的积。密 钥对的产生。选择两个大素数，p 和q 。计算：n = p * q 然后随机选择加密密钥e，要求e和 ( p - 1 ) * ( q - 1 )互质。最后，利用Euclid 算法计算解密密钥d, 满足 e * d = 1 ( mod ( p - 1 ) * ( q - 1 ) )其中n和d也要互质。数e和n是公钥，d是私钥。 两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不要让任何人知道。加密信息 m（二进制表示）时，首先 把m分成等长数据块 m1 ,m2,..., mi ，块长s，其中 2^s <= n, s 尽可能的大。 对应的密文是：ci = mi^e ( mod n ) ( a ) 解密时作如下计算：mi=ci^d(mod n)(b) RSA 可用于数字签名，方案是用 ( a ) 式签名， ( b )式验证。具体操作时考虑到安全性和m信 息量较大等因素，一般是先作HASH 运算。RSA 的安全性。RSA的安全性依赖于大数分解，但是否 等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解RSA就一定需要作大数分解.假设 存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前,RSA的一些变种算法 已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解140多个 十进制位的大素数。因此，模数n必须选大一些，因具体适用情况而定。 由于进行的都是大数计算,使得RSA最快的情况也比DES慢上100倍,无论是软件还是硬件实现。 速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。 */ #include<iostream> #include<stdlib> #include<time> using namespace std;//RSA算法所需参数 typedef struct RSA_PARAM_Tag { unsigned __int64 p, q; //两个素数，不参与加密解密运算 unsigned __int64 f; //f=(p-1)*(q-1)，不参与加密解密运算 unsigned __int64 n, e; //公匙，n=p*q，gcd(e,f)=1 unsigned __int64 d; //私匙，e*d=1 (mod f)，gcd(n,d)=1 unsigned __int64 s; //块长，满足2^s<=n的最大的s，即log2(n) } RSA_PARAM;//小素数表 const static long g_PrimeTable[]= { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 }; const static long g_PrimeCount=sizeof(g_PrimeTable) / sizeof(long);const unsigned __int64 multiplier=12747293821; const unsigned __int64 adder=1343545677842234541;//随机数类 class RandNumber { /* */ private: unsigned __int64 randSeed;/* */ public: RandNumber(unsigned __int64 s=0); unsigned __int64 Random(unsigned __int64 n); };/* */ RandNumber::RandNumber(unsigned __int64 s) { if(!s) { randSeed= (unsigned __int64)time(NULL); } else { randSeed=s; } }/* */ unsigned __int64 RandNumber::Random(unsigned __int64 n) { randSeed=multiplier * randSeed + adder; return randSeed % n; }static RandNumber g_Rnd;/* 模乘运算，返回值 x=a*b mod n */ inline unsigned __int64 MulMod(unsigned __int64 a, unsigned __int64 b, unsigned __int64 n) { return a * b % n; }/* 模幂运算，返回值 x=base^pow mod n */ unsigned __int64 PowMod(unsigned __int64 &base, unsigned __int64 &pow, unsigned __int64 &n) { unsigned __int64 a=base, b=pow, c=1; while(b) { while(!(b & 1)) { b>>=1; //a=a * a % n; //函数看起来可以处理64位的整数，但由于这里a*a在a>=2^32时已经造成了溢出，因此实际处理范围没有64位 a=MulMod(a, a, n); } b--; //c=a * c % n; //这里也会溢出，若把64位整数拆为两个32位整数不知是否可以解决这个问题。 c=MulMod(a, c, n); } return c; }/* Rabin-Miller素数测试，通过测试返回1，否则返回0。 n是待测素数。 注意：通过测试并不一定就是素数，非素数通过测试的概率是1/4 */ long RabinMillerKnl(unsigned __int64 &n) { unsigned __int64 b, m, j, v, i; m=n - 1; j=0; //0、先计算出m、j，使得n-1=m*2^j，其中m是正奇数，j是非负整数 while(!(m & 1)) { ++j; m>>=1; } //1、随机取一个b，2<=b<n-1 b=2 + g_Rnd.Random(n - 3); //2、计算v=b^m mod n v=PowMod(b, m, n); //3、如果v==1，通过测试 if(v == 1) { return 1; } //4、令i=1 i=1; //5、如果v=n-1，通过测试 while(v != n - 1) { //6、如果i==l，非素数，结束 if(i == j) { return 0; } //7、v=v^2 mod n，i=i+1 v=PowMod(v, 2, n); ++i; //8、循环到5 } return 1; }/* Rabin-Miller素数测试，循环调用核心loop次 全部通过返回1，否则返回0 */ long RabinMiller(unsigned __int64 &n, long loop) { //先用小素数筛选一次，提高效率 for(long i=0; i < g_PrimeCount; i++) { if(n % g_PrimeTable[i] == 0) { return 0; } } //循环调用Rabin-Miller测试loop次，使得非素数通过测试的概率降为(1/4)^loop for(long i=0; i < loop; i++) { if(!RabinMillerKnl(n)) { return 0; } } return 1; }/* 随机生成一个bits位(二进制位)的素数，最多32位 */ unsigned __int64 RandomPrime(char bits) { unsigned __int64 base; do { base= (unsigned long)1 << (bits - 1); //保证最高位是1 base+=g_Rnd.Random(base); //再加上一个随机数 base|=1; //保证最低位是1，即保证是奇数 } while(!RabinMiller(base, 30)); //进行拉宾－米勒测试30次 return base; //全部通过认为是素数 }/* 欧几里得法求最大公约数 */ unsigned __int64 EuclidGcd(unsigned __int64 &p, unsigned __int64 &q) { unsigned __int64 a=p > q ? p : q; unsigned __int64 b=p < q ? p : q; unsigned __int64 t; if(p == q) { return p; //两数相等，最大公约数就是本身 } else { while(b) //辗转相除法，gcd(a,b)=gcd(b,a-qb) { a=a % b; t=a; a=b; b=t; } return a; } }/* Stein法求最大公约数 */ unsigned __int64 SteinGcd(unsigned __int64 &p, unsigned __int64 &q) { unsigned __int64 a=p > q ? p : q; unsigned __int64 b=p < q ? p : q; unsigned __int64 t, r=1; if(p == q) { return p; //两数相等，最大公约数就是本身 } else { while((!(a & 1)) && (!(b & 1))) { r<<=1; //a、b均为偶数时，gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2) a>>=1; b>>=1; } if(!(a & 1)) { t=a; //如果a为偶数，交换a，b a=b; b=t; } do { while(!(b & 1)) { b>>=1; //b为偶数，a为奇数时，gcd(b,a)=gcd(b/2,a) } if(b < a) { t=a; //如果b小于a，交换a，b a=b; b=t; } b=(b - a) >> 1; //b、a都是奇数，gcd(b,a)=gcd((b-a)/2,a) } while(b); return r * a; } }/* 已知a、b，求x，满足a*x =1 (mod b) 相当于求解a*x-b*y=1的最小整数解 */ unsigned __int64 Euclid(unsigned __int64 &a, unsigned __int64 &b) { unsigned __int64 m, e, i, j, x, y; long xx, yy; m=b; e=a; x=0; y=1; xx=1; yy=1; while(e) { i=m / e; j=m % e; m=e; e=j; j=y; y*=i; if(xx == yy) { if(x > y) { y=x - y; } else { y-=x; yy=0; } } else { y+=x; xx=1 - xx; yy=1 - yy; } x=j; } if(xx == 0) { x=b - x; } return x; }/* 随机产生一个RSA加密参数 */ RSA_PARAM RsaGetParam(void) { RSA_PARAM Rsa={ 0 }; unsigned __int