FFT（快速傅里叶变换）中频率和实际频率的关系

在数字信号处理中，快速傅里叶变换（FFT）是一个非常重要的算法，它用于在频域分析离散时间信号。了解FFT中的频率与实际物理频率之间的关系对于正确分析频谱数据至关重要。本文将详细讨论实际物理频率、角频率、圆周频率、归一化频率以及FFT变化后的频率与实际频率之间的关系。 实际物理频率指的是通过模数转换（AD转换）采集到的物理信号的频率。在FFT分析中，信号的频率内容是通过采样获得的。采样频率（fs）是必须大于或等于信号最高频率的两倍，这是为了避免信号混叠现象，这一点是由奈奎斯特采样定理所规定的。因此，采样频率能够采样到的信号最高频率为采样频率的一半，即fs/2。 角频率是实际物理频率的2π倍，通常被称为模拟频率。角频率的概念用于计算上更为方便，因为它直接与一个完整周期内的旋转角度相关。具体来说，一个信号周期对应360度，即2π弧度。因此，角频率可以理解为信号在一个周期内转过了多少个2π弧度。 归一化频率是实际物理频率除以采样频率后的结果。在MATLAB的fdtool工具中，归一化频率的范围通常是从0到0.5，这是因为0.5正好对应于采样频率的一半，即fs/2。这与奈奎斯特频率相对应，超过这个频率范围的信号分量将无法被采样到。 圆周频率则是归一化频率的2π倍，有时也称为数字频率。它是由归一化的角频率导出的，用于描述单位圆上的角度变化。 当我们进行n点FFT变换时，意味着我们在时域上对信号采样了n个点进行频谱分析。FFT变换结果仍然是n个点。FFT算法将数字频率范围0到2π*fs划分为n个部分，因此，每个部分对应的频率分辨率是fs/n。例如，如果有16点FFT分析，信号最高频率为32kHz，采样频率为64kHz，那么信号的频谱将是关于n/2对称的。在频谱中，n=1对应的频率是4kHz，n=2对应的是8kHz，以此类推。由于奈奎斯特定律，我们只需要关心0到fs/2范围内的频率分量。 要计算第k个频谱点对应的实际频率，可以使用公式f(k)=k*(fs/n)。必须知道信号的采样频率fs才能正确计算每个频谱点的实际频率。同时，由于采样定理的限制，如果信号中存在高于采样频率一半的频率分量，在频谱上是无法显示的。因此，提高频谱的逼真度需要更多的点数进行FFT变换，即增加n值。 在分析离散信号傅里叶变换时，其周期性是由于单位圆上的周期性导致的。在S平面（实轴和虚轴构成的直角坐标系）中，频率分量的幅值是可观察的，而在Z平面（极坐标系）中，频率由向量与实轴的夹角表示，幅值则由向量的长度表示。从拉普拉斯变换到Z变换的映射表明，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，对于模拟频率在S平面的虚轴上的变换，数字频率在Z平面单位圆上的映射也是周期性的，这反映了离散信号傅里叶变换的周期性特性。 总结而言，FFT是数字信号处理中的一个强大工具，但正确解释其结果需要对频率的概念及其与实际物理频率的关系有深入理解。采样频率、实际物理频率、角频率、归一化频率和圆周频率是分析FFT结果时不可忽视的重要概念。通过合理选择采样频率以及FFT点数，可以在满足奈奎斯特采样定理的前提下，尽可能地避免信号混叠，减小频率泄漏，并在有限的计算资源下获得尽可能准确的频谱分析结果。