空间向量与立体几何（公式、定理、结论图表）
1.空间向量基本概念
空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.
长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为
a
r
或
AB
uuur
.
零向量：长度为 0 的向量叫作零向量,记为
0
r
.
单位向量：模为 1 的向量叫作单位向量.
相反向量：与向量
a
r
长度相等而方向相反的向量,叫作
a
r
的相反向量,记为
a-
r
.
共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作
共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.
相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.
2.空间向量的线性运算
空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.
3.共线、共面向量基本定理
（1）直线
l
的方向向量：在直线
l
上取非零向量
a
r
,与向量
a
r
平行的非零向量称为直线
l
的方向向量.
（2）共线向量基本定理：
对任意两个空间向量
=a b
l
r r
（
0b ¹
r r
），
/ /a b
r r
的充要条件是存在实数
l
，使
=a b
l
r r
.
（3）共面向量：
如果表示向量
a
r
的有向线段
OA
uuur
所在的直线
OA
与直线
l
平行或重合,那么称向量
a
r
平行于直线
l
.
如果直线
OA
平行于平面
a
或在平面
a
内,那么称向量
a
r
平行于平面
a
.
平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.
（4）共面向量基本定理:如果两个向量
a
r
,
b
r
不共线,那么向量
p
ur
与向量
a
r
,
b
r
共面的充要条件是存在唯一的
有序实数对
( )
,x y
,使
p xa yb= +
ur uur r
.
4.空间向量的数量积
（1）向量的夹角：已知两个非零向量
a
r
,
b
r
,在空间任取一点
O
,作
,OA a OB b= =
uuur r uuur r
,则
AOBÐ
叫作向量
a
r
,
b
r
的夹角,记作
,a b< >
r r
.如果
,
2
a b
p
< >=
r r
,那么向量
,a b
r r
互相垂直,记作
a b^
r r
.
（2）数量积定义：已知两个非零向量
,a b
r r
,则
cos ,a b a b< >
r r r r
叫作
,a b
r r
的数量积,记作
a b×
r r
.
即
a b× =
r r
cos ,a b a b< >
r r r r
.
（3）数量积的性质：
0a b a b^ Û × =
r r r r
2
cos ,a a a a a a a× = × < >=
r r r r r r r
.
（4）空间向量的数量积满足如下的运算律：
( ) ( )
a b a b
l l
× = ×
r r r r
a b b a× = ×
r r r r
(交换律):
( )
a b c a c b c+ × = × + ×
r r r r r r r
（分配律).
推论：
( )
2
2 2
2a b a a b b+ = + × +
r r r r r r
，
( ) ( )
2 2
a b a b a b+ × - = -
r r r r r r
.
（5）向量的投影向量：
向量
a
r
在向量
b
r
上的投影向量
c
r
：
cos ,
b
c a a b
b
= < >
r
r r r r
r
向量
a
r
在平面
a
内的投影向量与向量
a
r
的夹角就是向量
a
r
所在直线与平面
a
所成的角.
5.空间向量基本定理
如果三个向量
, ,a b c
r r r
不共面，那么对空间任意一个空间向量
p
ur
.存在唯一的有序实数组
( )
, ,x y z
.使得
p xa yb zc= + +
ur r r r
.
6.基底与正交分解
(1)基底:如果三个向量
, ,a b c
r r r
不共面,那么我们把
{ }
, ,a b c
r r r
叫作空间的一个基底,
, ,a b c
r r r
都叫作基向量.
(2)正交分解:
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为 1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用
{ }
, ,i j k
r r r
表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.
7.空间直角坐标系
在空间选定点
O
和一个单位正交基底
{ }
, ,i j k
r r r
.
以点
O
为原点，分别以
, ,i j k
r r r
的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:
x
轴.
y
轴、
z
轴,它
们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系
Oxyz
,
O
叫作原点，
, ,i j k
r r r
都叫作坐标向量,通过
每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.
空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.
8.空间向量的坐标
在空间直角坐标系
Oxyz
中
, ,i j k
r r r
为坐标向量.给定任一向量
OA
uuur
,存在唯一的有序实数组
( )
, ,x y z
,使
OA xa yb zc= + +
uuur r r r
. 有 序 实 数 组
( )
, ,x y z
叫 作 向 量
OA
uuur
在 空 间 直 角 坐 标 系
Oxyz
中 的 坐 标 . 记 作
( )
, ,OA x y z=
uuur
.
( )
, ,x y z
也叫点
A
在空间直角坐标系中的坐标.记作
( )
, ,A x y z
.
9.空间向量运算的坐标表示
设
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
, , , , ,a x y z b x y z= =
r r
，则：
（1）
( )
1 2 1 2 1 2
, ,a b x x y y z z+ = + + +
r r
，
（2）
( )
1 2 1 2 1 2
, ,a b x x y y z z- = - - -
r r
，
（3）
( )
1 1 1
, ,a x y z
l l l l
=
r
.
10.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示
（1）
1 2 1 2 1 2
/ / , ,a b a b x x y y z z
l l l l
Û = Û = = =
r r r r
，
（2）
1 2 1 2 1 2
=0 + + 0a b a b x x y y z z^ Û × Û =
r r r r
，
（3）
( )
2
2 2 2
1 1 1
a a x y z= = + +
r r
，
（4）
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
+ +
cos ,
x x y y z z
a b
a b
a b
x y z x y z
×
= =
+ + + +
r r
r r
r r
.
11.空间两点间的距离公式
设
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
, , , , ,P x y z P x y z
，则
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1
( ) ( ) (z )PP x x y y z= - + - + -
.
12.平面的法向量：直线
l
a
^
，取直线
l
的方向向量
a
r
，称
a
r
为平面的法向量.
13.空间中直线、平面的平行
（1）线线平行:若
1 2
,u u
ur uur
分别为直线
1 2
,l l
的方向向量,则
1 2 1 2
/ / / / ,l l u u R
l
Û Û $ Î
ur uur
使得
1 2
u u
l
=
ur uur
.
（2）线面平行:设
u
r
直线
l
r
的方向向量,
n
r
是平面
a
的法向量,
l
a
Ë
，则
/ / 0l u n u n
a
Û ^ Û × =
r r r r
.
法 2:在平面
a
内取一个非零向量
a
r
,若存在实数
x
,使得
u xa=
r r
,且
l
a
Ë
，则
/ /l
a
.
法 3:在平面
a
内取两个不共线向量
,a b
r r
,若存在实数
,x y
，使得
u xa yb= +
r r r
,且
l
a
Ë
,则
/ /l
a
（3）面面平行:设
1 2
,n n
ur uur
分别是平面
,
a b
的法向量，则
1 2
/ / / /n n R
a b l
Û Û $ Î
ur uur
，使得
1 2
n n
l
=
ur uur
.
14. 空间中直线、平面的垂直
（1）线线垂直:若
1 2
,u u
ur uur
分别为直线
1 2
,l l
的方向向量,则
1 2 1 2 1 2
0l l u u u u^ Û ^ Û × =
ur uur ur uur
.
（2）线面垂直: 设
u
r
直线
l
的方向向量,
n
r
是平面
a
的法向量,则
/ /l u n R
a l
^ Û Û $ Î
r r
，使得
u n
l
=
r r
.
法 2: 在平面
a
内取两个不共线向量
,a b
r r
,若
0a u b u× = × =
r r r r
.则
l
a
^
.
（3）面面垂直: 设
1 2
,n n
ur uur
分别是平面
,
a b
的法向量，则
1 2 1 2
0n n n n
a b
^ Û ^ Û × =
ur uur ur uur
.
15.用空间向量研究距离、夹角问题
（1）点到直线的距离：已知
,A B
是直线
l
上任意两点,
P
是
l
外一点，
PQ l^
，则点
P
到直线
l
的距离为
2
2 2 2
AP AB
PQ AP AQ AP
AB
×
= - = -
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur
.
(2)求点到平面的距离
已知平面
a
的法向量为
n
r
,
A
是平面
a
内的任一点，
P
是平面
a
外一点,过点
P
作则平面
a
的垂线
l
，交
平面
a
于点
Q
,则点
P
到平面
a
的距离为
AP n
PQ
n
×
=
uuur r
r
.
（3）直线与直线的夹角
若
1 2
,n n
ur uur
分别为直线
1 2
,l l
的方向向量，
q
为直线
1 2
,l l
的夹角，则
1 2
1 2
1 2
cos cos ,
n n
n n
n n
q
×
= < > =
ur uur
ur uur
ur uur
.
(4)直线与平面的夹角
设
1
n
ur
是直线
l
的方向向量,
2
n
uur
是平面
a
的法向量,直线与平面的夹角为
q
.则
1 2
1 2
1 2
sin cos ,
n n
n n
n n
q
×
= < > =
ur uur
ur uur
ur uur
.
（5）平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于
90
o
的二面角称为这两个
平面的夹角.
若
1 2
,n n
ur uur
分别为平面
,
a b
的法向量，
q
为平面
,
a b
的夹角，则
1 2
1 2
1 2
cos cos ,
n n
n n
n n
q
×
= < > =
ur uur
ur uur
ur uur
.
<解题方法与技巧>
1．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使
向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量
的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
