常微测验题及解答.pdf
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2024-03-28
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常微分方程期中测验试题及解答
一. 填空题(每空3分, 共18分)
1. 若有常数L > 0使得不等式|f(x, y
2
) − f(x, y
1
)| ≤ L|y
2
− y
1
|对所有(x, y
1
), (x, y
2
)
∈ G都成立, 则称f(x, y)在G上对y满足Lipschitz条件.
2. 方 程M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0有 仅 依 赖 于x的 积 分 因 子 的 充 要 条 件
是(
∂M
∂y
−
∂N
∂x
)/N = φ(x), 有仅依赖于y的积分因子的充要条件是(
∂M
∂y
−
∂N
∂x
)/(−M)
=ψ(y).
3. 一曲线经过点(0, 1), 且曲线上任一点(x, y)处切线的斜率为2y + 1, 则此曲线
方程是y = −
1
2
+
3
2
e
2x
.
4. 伯努利方程z
′
= P (x)z + Q(x)z
n
经变换y = z
1−n
可化为线性方程.
5. 已知y
1
, y
2
是方程y
′
= P (x)y + Q(x)的两个不同的解, 则方程的通解可写
成y = c(y
2
− y
1
) + y
1
.
二. 单项选择题(每题3分, 共12分)
1. 下列微分方程是线性的是(C)
(A). y
′
+ xy
3
= 0; (B). y
′
= − sin y + xy ;
(C). y
′
= y sin
2
x + e
x
; (D). (y
′
)
2
= y + x + 1.
2. 若(1 + xy
2
)dx + N(x, y)dy = 0是恰当微分方程, 则N的最简形式是(B)
(A). N = x
2
y + f(y); (B). N = x
2
y ;
(C). N = 1 + x
2
y; (D). N = x
2
y + g(x).
3. 下列方程在一般情况下不能用初等积分法求通解的是(C)
(A). y
′
= P (x)y + Q(x); (B). y
′
= g(y/x) ;
(C). y
′
= P (x)y
2
+ Q(x)y + R(x); (D). y
′
= P (x)y + Q(x)y
n
.
4. 下列说法错误的是(B)
(A). 若f(x, y)在域G上连续且对y满足局部Lipschitz条件, 则方程y
′
= f(x, y)过
任意(x
0
, y
0
) ∈ G的解存在唯一且连续地依赖于x
0
, y
0
.
(B). 若f(x, y)在域G上连续且方程y
′
= f(x, y)过任意(x
0
, y
0
) ∈ G的解存在唯
一，则f(x, y)对y满足局部Lipschitz条件.
(C). 若f(x, y)和f
′
y
均在域G上连续, 则方程y
′
= f(x, y)过任意(x
0
, y
0
) ∈ G的
解y = ϕ(x, x
0
, y
0
)对x
0
, y
0
均存在一阶连续偏导数.
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