### 第3章习题知识点解析
#### 一、集合运算
**题目1：**
已知自然数集 \(N\) 的子集：
- \(A=\{1,2,7,8\}\)
- \(B=\{i|i^2<50\}\)
- \(C=\{i|i\) 可以被 3 整除且 \(0 \leq i \leq 30\}\)
- \(D=\{i|i=2k \text{ 且 } k \in Z, 0 \leq k \leq 6\}\)
求下列集合：
1. **\(A \cup (B \cup (C \cap D))\)**
首先明确各集合元素：
- \(B\) 中的元素为 \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\)，因为 \(7^2 = 49 < 50\)。
- \(C\) 中的元素为 \(\{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30\}\)。
- \(D\) 中的元素为 \(\{0,2,4,6,8,10,12\}\)。
接下来求解：
- \(C \cap D = \{0,6,12\}\)
- \(B \cup (C \cap D) = \{0,1,2,3,4,5,6,7,12\}\)
- 最终结果为：\(A \cup (B \cup (C \cap D)) = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,12\}\)
2. **\(A \cap (B \cap (C \cup D))\)**
先求解：
- \(C \cup D = \{0,2,3,4,6,8,9,10,12,15,18,21,24,27,30\}\)
- \(B \cap (C \cup D) = \{1,2,3,4,6\}\)
- 结果为：\(A \cap (B \cap (C \cup D)) = \{1,2\}\)
3. **\(B-(A \cup C)\)**
先求解：
- \(A \cup C = \{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30\}\)
- 结果为：\(B-(A \cup C) = \{4,5,7\}\)
4. **\((A \cup B) \cup D\)**
先求解：
- \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)
- 结果为：\((A \cup B) \cup D = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,12\}\)
#### 二、集合论断分析
**题目2：**
判断以下论断是否正确，并解释原因：
1. **\(\varnothing \in \varnothing\)**
此论断不正确。空集 \(\varnothing\) 没有任何元素，因此不能包含自身或其他任何元素。
2. **\(\varnothing \subseteq \varnothing\)**
此论断正确。空集是任何集合的子集，包括它自身。
3. **\(\{a\} \in \{a,b,\{c\},\{a\},\{a,b\}\}\)**
此论断正确。集合 \(\{a,b,\{c\},\{a\},\{a,b\}\}\) 包含了元素 \(\{a\}\)。
4. **\(\{a\} \subseteq \{a,b,\{c\},\{a\},\{a,b\}\}\)**
此论断不正确。集合 \(\{a\}\) 不是集合 \(\{a,b,\{c\},\{a\},\{a,b\}\}\) 的子集，因为 \(\{a\}\) 本身作为一个元素存在，而不是所有元素都在外部集合中。
#### 三、幂集与集合运算
**题目3：**
已知集合：
- \(A = \{\varnothing, 1, \{1\}\}\)
- \(B = \{0, \{0\}\}\)
求下列集合：
1. **\(P(A)\)**
\(P(A)\) 表示集合 \(A\) 的幂集，即所有子集组成的集合。
- \(P(A) = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{1\}, \{\{1\}\}, \{\varnothing, 1\}, \{\varnothing, \{1\}\}, \{1, \{1\}\}, \{\varnothing, 1, \{1\}\}\}\)
2. **\(P(B) - \{0\}\)**
\(P(B) = \{\varnothing, \{0\}, \{\{0\}\}, \{0, \{0\}\}\}\)，因此：
- \(P(B) - \{0\} = \{\varnothing, \{\{0\}\}, \{0, \{0\}\}\}\)
3. **\(P(B) \cup B\)**
\(P(B) = \{\varnothing, \{0\}, \{\{0\}\}, \{0, \{0\}\}\)\) 且 \(B = \{0, \{0\}\}\)。
- 因此，\(P(B) \cup B = \{\varnothing, \{0\}, \{\{0\}\}, \{0, \{0\}\}\}\)（注意这里 \(P(B) \cup B = P(B)\)）
#### 四、组合数学问题
**题目5：**
求由数字 1、2、3、4、5、6、7 组成的四位数（每个数字都不允许重复出现）中，数字 3 在 5 前面的四位数共有多少个？
解决这个问题的关键在于排列组合的方法：
- 选择 4 个不同的数字进行排列，总的排列方法为 \(A_7^4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840\) 种。
- 当 3 和 5 都在选中的 4 个数字中时，我们需要考虑 3 在 5 前面的情况。此时，我们先选出 2 个数字与 3 和 5 组合，共有 \(C_5^2 = 10\) 种方式。
- 对于这 4 个数字进行排列，其中 3 在 5 前面的情况占一半，所以总共有 \(\frac{1}{2} \times 4! = 12\) 种。
- 因此，符合条件的四位数共有 \(10 \times 12 = 120\) 个。
**题目6：**
10 个男生和 4 个女生围坐在圆桌旁，问任意两个女生不相邻的坐法有多少种？
解决此类问题的关键在于考虑女生不相邻的条件：
- 将 10 个男生视为一个整体，他们可以有 \((10-1)!\) 种排列方式。
- 接下来，在男生之间的位置放置女生。由于男生已经形成一个圈，因此有 10 个空隙可供女生插入，但为了确保任意两个女生不相邻，我们可以考虑将每个女生放在两个男生之间。
- 考虑到女生之间的相对顺序，共有 \(4!\) 种排列方式。
- 因此，总的坐法数为 \((10-1)! \times 4! = 9! \times 4! = 362880 \times 24 = 8709120\) 种。
**题目7：**
从 1～9 中选取 4 个奇数和 2 个偶数组成 6 位数，问有多少个不同的 6 位数？
解答此题的关键在于组合与排列的计算：
- 从 5 个奇数中选取 4 个，共有 \(C_5^4 = 5\) 种方式。
- 再从 4 个偶数中选取 2 个，共有 \(C_4^2 = 6\) 种方式。
- 接下来考虑这些数字的排列情况，6 个数字的排列共有 \(6!\) 种。
- 因此，总共的不同 6 位数的数量为 \(5 \times 6 \times 6! = 5 \times 6 \times 720 = 21600\) 种。
通过以上解析，我们可以清楚地理解每道题目的知识点以及具体的求解过程。
