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21九章空间解析几何.pdf

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第九章空间解析几何

向量代数是空间解析几何的工具，空间解析几何是多元函数微积分学的基础。

目前的教学基本要求在理论方面不全面，让学习者经常看不到问题的全貌，为此．本

章主要总结和补充一些重要的求极限方法．（李有文编写内部资料，严禁外传！）

一基础理论与补充

（一）向量代数的若干内容

1.混合积的几何意义

混合积是指三个向量先进行向量积运算，再进行数量积运算：

( )

a b c

 

  

，记

为

[ , , ]

a b c

  

.若

( , , ), ( , , ), ( , , )

x y z x y z x y z

a a a a b b b b c c c c

  

           

，则

[ ]

x y z

x z

a a a

a b c b b b

c c c

 

 



 

 

  

     

  

[ , , ]

a b c

  

表示以三个向量

, ,

a b c

  

为相邻边构成的平行六面体的体积.

2.空间不在一条直线上的三个点

, ,

A B C

构成的三角形的面积

S AB AC

 

 

，平

面上不在一条直线上的三个点

1 1 2 2 3 3

( , ), ( , ), ( , )

A x y B x y C x y

构成的三角形的面积

1 1

2 2

3 3

x y

S x y

x y



3. 根据菱形的性质可得两个向量

a b

 

角分线方向的向量平行于

b a a b



   

4. 若矩阵

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

 

 

 

满秩，则直线

3 3 3

1 2 1 2 1 2

x a y b z c

a a b b c c

  

 

  

与直线

1 1 1

2 3 2 3 2 3

x a y b z c

a a b b c c

  

 

  

相交于一点.

证明：因

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

1 3 1 3 1 3

0 0 0

a a b b c c a a b b c c

a a b b c c

     

       

  

，故两条直线

共面.

对已知矩阵进行行初等变换，得

1 1 1 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 3 2 3 2 3

3 3 3 3 3 3

a b c a a b b c c

a b c a b c

  

   

   

   

   

   

，

因矩阵满秩，故变换后前两行元素不可能对应成比例，两条直线不平行。

由上可知，两条直线相交。

5. 设

1 1 1

1 2 2 2 3 2

3 3 3

, ,

a b c

  

     

     

  

     

     

，（其中

2 2

0, 1,2,3

i i

a b i  

），如果

1 1 3

, ,

  

线性相关，

1 2

 

线性无关，则三条直线

1 1 1

a x b y c

  

，

2 2 2

a x b y c

  

，

3 3 3

a x b y c

  

交于一点.

证明：因

1 2 3

, ,

  

线性相关，表明 3 条直线有交点。

1 2 3

, ,

  

两个线性无关表明

至少有 2 条直线相交而不平行，因此 3 条直线交于一点。

（二）直线、平面的位置关系

1.两条直线共面

两条直线

1 1 1 2 2 2

1 2

1 1 1 2 2 2

: , :

x x y y z z x x y y z z

L L

m n p m n p

     

   

共面的充分

必要条件是

1 1 1

2 2 2

2 1 2 1 2 1

m n p

x x y y z z



  

，其中里面双竖线为行列式，外面为绝对

值.

2.两条直线的位置关系

令

1 2

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )

s m n p s m n p P x y z Q x y z

 

 

，则

(1)当

1 1 1

2 2 2

2 1 2 1 2 1

m n p

x x y y z z



  

时，直线

1 2

L L

为异面直线.

(2)当

1 1 1

2 2 2

m n p

 

，且

1 1 1 2

( , , )

P x y z L



或

2 2 2 1

( , , )

Q x y z L



时两条直线重合.

(3)当

1 1 1

2 2 2

m n p

 

，且

1 1 1 2

( , , )

P x y z L



或

2 2 2 1

( , , )

Q x y z L



时两条直线平行.

(4)当

1 1 1

2 2 2

m n p

 

不成立，但

1 1 1

2 2 2

2 1 2 1 2 1

m n p

x x y y z z



  

时两条直线相交.

3.直线与平面的位置关系

设有直线

0 0 0

x x y y z z

m n p

  

 

与平面

: 0

Ax By Cz D



   

，令

( , , ), ( , , )

s m n p n A B C

 

 

，则

(1)当

s n

 

 

即

Am Bn Cp

  

，且

0 0 0

Ax By Cz D

   

时，直线





；

(2) 当

s n

 

 

即

Am Bn Cp

  

，且

0 0 0

Ax By Cz D

   

时.

/ /



;

(3) 当

s n

 

 

时，



相交，特别

/ /

s n

 

时，直线与平面垂直相交。

令

1 2

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )

s m n p s m n p P x y z Q x y z

 

 

，则

4.三个平面的位置关系

设空间 3 个平面的方程为：

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d

  





  





  



令

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3

a b c a b c d

A a b c B a b c d

a b c a b c d

   

   

 

   

   

( , , ), ( , , , )

i i i i i i i i i

a b c a b c d

 

 

(1)若

rankA rankB

 

，线性方程组有唯一解，3 个平面交于一点‘

(2)若

2, 3

rankA rankB

 

，线性方程组无解，由于系数矩阵秩为 2，故三个向

量线性相关，于是存在

1 2 3 1 1 2 2 3 3

, , , . . 0

t t t s t t t t

  

  

，

(i)若

1 2 3

, ,

t t t

全不为 0，则三个平面中任意两平面的交线与第 3 个平面平行；

(ii)若

1 2 3

, ,

t t t

中有一个为 0 时，三个平面中有 2 个平面平行，第 3 个平面与这

两平面相交。

(3)

rank rank 2

A B

 

,线性方程组有无穷多解，三平面交于一条直线。由于

rank 2



，存在常数

1 2 3

, ,

t t t

,使得

1 1 2 2 3 3

t t t

  

  

(i)当

1 2 3

, ,

t t t

全不为 0 时，三平面互异；

(ii)当

1 2 3

, ,

t t t

中有一个为 0 时，三平面中有 2 个重合，与第 3 个平面交于 1 条直

线；

(4)

rank 1 rank 2

A B

 

，

,线性方程组无解。由于

rank 1



，三平面平行；而

由

rank 2



知 3 平面中至少有 2 个平面平行而不重合；

(5)

rank rank 1

A B

 

,线性方程组有无穷多组解，3 平面重合。

（三）距离

(1) 点

1 1 1

( , , )

P x y z

到直线

0 0 0

x x y y z z

m n p

  

 

的距离

令

( , , )

s m n p





，则

s MP





 



(2) 异面直线之间的距离

设有异面直线

1 1 1 2 2 2

1 2

1 1 1 2 2 2

: , :

x x y y z z x x y y z z

L L

m n p m n p

     

   

，令

1 1 1 1 2 2 2 2

( , , ), ( , , )

s m n p s m n p

 

 

，

1 1 1 1 2 2 2 2

( , , ), ( , , )

M x y z M x y z

，则两条异面

直线之间的距离为

1 2 1 2

1 2

( )

s s M M

s s





  

 

（四）旋转曲面

1. 空间曲线

( ),

( ), ( )

( )

x t

y t t

z t



  









   









：

绕

轴旋转一周得到的旋转曲面的参

数方程为

2 2

( ) ( ) cos ,

( ) ( ) sin ,

( )

x t t

y t t

z t

  

 

  

 





 



 

 



  



 

 

 









：

证明：任取点

( ( ), ( ), ( ))M t t t

  



，点

绕

旋转



后到达点

( , , )

M x y z

,于是有

2 2

( ) ( ) cos ,

( ) ( ) sin ,

( )

x t t

y t t

z t

  

 

  

 





 



 

 



  



 

 

 









：

，

从中消去参数



可以得到曲面的一般式方程。

注：空间曲面的参数方程一般含有 2 个参数。

（五）空间曲线

( , , ) 0,

( , , ) 0

F x y z

G x y z











在平面

Ax By Cz D

   

上的投影.

先求出准线为

( , , ) 0,

( , , ) 0

F x y z

G x y z











，母线平行于

( , , )

A B C

的柱面方程

( , , ) 0

H x y z



，于是可得投影为

( , , ) 0

H x y z

Ax By Cz D







   



（六）准线为

( , , ) 0,

( , , ) 0

F x y z

G x y z











母线平行于

( , , )

A B C

的柱面方程.

在准线上任取一点

0 0 0

( , , )

x y z

，满足

0 0 0

( , , ) 0,

( , , ) 0;

F x y z

G x y z











过点

0 0 0

( , , )

x y z

的母线

方程为

0 0 0

x x y y z z

A B C

  

  

，母线的参数方程为

x x At

 

，

y y Bt

 

，

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