在现代社会中，决策的复杂性与日俱增，尤其在社会经济系统中，涉及多个目标、多种准则和众多方案的综合分析。为了解决这类多准则决策问题，数学建模方法提供了一系列科学的分析工具。其中，层次分析模型（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种被广泛应用的方法。由Thomas Saaty在20世纪70年代提出，AHP方法在教育、经济、管理等多个领域取得了显著成效。
层次分析模型的基本原理是将复杂的决策问题分解为不同的组成部分，形成有序的层级结构，然后通过成对比较这些组成部分的重要性，赋予相应的权重，最后综合计算出各方案对最终决策目标的贡献程度。该模型包括确定目标层、准则层和方案层三个主要步骤，通过构建成对比较矩阵以及计算权重向量，来完成决策过程的定量分析。
在具体实施过程中，首先需要确立决策的目标，并识别出与之相关的决策准则，最后列举出可供选择的方案。例如，如果目标是选择一个旅游地点，那么决策准则可能包括风景优美、消费水平、交通便利等，方案则是具体可选择的旅游地。在构建成对比较矩阵时，每个决策准则都会相对于决策目标进行比较，每个方案相对于每个决策准则也会进行类似的比较。这样，通过成对比较得出的权重，结合层次分析模型的综合权重计算，就可以得出各方案对于总目标的最终排序。
值得注意的是，在层次分析模型中，一致性检验是确保决策有效性的关键环节。在成对比较的过程中，决策者可能会表现出不一致性，即对某些准则或方案的偏好存在矛盾。Saaty等人引入了一致性比率（Consistency Ratio，CR），通过一致性指数（Consistency Index，CI）和随机一致性指数（Random Index，RI）的比较，来评估成对比较矩阵的一致性。只有当CR值小于0.1时，我们认为成对比较矩阵通过了一致性检验，从而保证了决策的有效性和可靠性。
层次分析模型的应用场景非常广泛，例如在投资项目选择、企业战略规划、技术方案评估、城市规划、医疗决策等多个领域都有着重要的应用。例如，在选择投资项目时，企业可以利用层次分析模型对不同的投资方案进行综合评价，从而做出科学合理的投资决策。在技术方案评估中，对于技术的可行性和经济性等多个指标，层次分析模型可以提供一套全面的评价体系。
除了层次分析模型，离散模型的范围还涵盖了差分方程、整数规划、图论、对策论、网络流等其他数学工具。这些方法在解决社会经济系统问题时，各自扮演着重要的角色。例如，差分方程是研究随时间变化的离散时间动态系统的模型；整数规划在解决资源优化分配问题时，确保决策变量取整数值；图论则为分析复杂网络结构提供了理论基础；对策论研究了参与者之间相互影响的竞争或合作行为；网络流则关注的是网络中流动资源的最优分配。
离散模型和层次分析模型在数学建模领域具有非常重要的地位。它们不仅为解决多准则决策问题提供了一套科学的方法体系，而且还在实际的经济、管理等社会经济系统分析中，发挥着至关重要的作用。通过对这些模型和方法的深入学习与应用，可以帮助我们更好地进行决策和优化管理。
