5 二维费用的背包问题 9
5.1 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 物品总个数的限制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.4 复整数域上的背包问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.5 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 分组的背包问题 10
6.1 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.2 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.3 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 有依赖的背包问题 10
7.1 简化的问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.2 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.3 较一般的问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8 泛化物品 11
8.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8.2 泛化物品的和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.3 背包问题的泛化物品 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9 背包问题问法的变化 13
9.1 输出方案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9.2 输出字典序最小的最优方案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9.3 求方案总数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.4 最优方案的总数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.5 求次优解、第K优解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.6 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 01背包问题
1.1 题目
有N件物品和一个容量为V 的背包。放入第i件物品耗费的空间是C
i
,得到
的价值是W
i
。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
1.2 基本思路
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不
放。
用子问题定义状态:即F [i, v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以
获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
F [i, v] = max{F [i − 1, v], F [i − 1, v − C
i
] + W
i
}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生
出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包
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