带通采样定理+详细推导+应用举例
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2012-05-11
17:32:33
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带通抽样定理
实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通
信号的上截止频率为
H
f
，下截止频率为
L
f
，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率
H
f
，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[ 定理] 带通抽样定理 ：一个频带限制在
),(
HL
ff
内的时间连续信号
)(tx
，信号带宽
LH
ffB
，令
NBfM
H
/
，这里
N
为不大于
Bf
H
/
的最大正整数。如果抽样频
率
s
f
满足条件
m
f
f
m
f
L
s
H
2
1
2
，
10 Nm
（3.1-9）
则可以由抽样序列无失真的重建原始信号
)(tx
。
对信号
)(tx
以频率
s
f
抽样后，得到的采样信号
)(
s
nTx
的频谱是
)(tx
的频谱经过周期延拓而
成，延拓周期为
s
f
，如图 3-3 所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号
)(tx
，必
须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于
),(
HL
ff
和
),(
LH
ff
的频带
分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑
),(
HL
ff
的频带分量不会出现混叠的条件。
在 抽 样 信 号 的 频 谱 中 ， 在
),(
HL
ff
频 带 的 两 边 ， 有 着 两 个 延 拓 频 谱 分 量 ：
),(
sLsH
mffmff
和
))1(,)1((
sLsH
fmffmf
。为了避免混叠，延拓后
的频带分量应满足
LsL
fmff
（3.1-10）
HsH
ffmf )1(
（3.1-11）
综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到
m
f
f
m
f
L
s
H
2
1
2
（3.1-12）
这里
m
是大于等于零的一个正数。如果
m
取零，则上述条件化为
Hs
ff 2
（3.1-13）
这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
m
取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。但是
m
有一个上限，因为
m
f
f
L
s
2
，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即
Bf
s
2
。
因此
B
f
B
f
f
f
m
LL
s
L
2
22
（3.1-14）
由于
N
为不大于
Bf
H
/
的最大正整数，因此不大于
Bf
L
/
的最大正整数为
1N
，故有
10 Nm
综上所述，要无失真的恢复原始信号
)(tx
，采样频率
s
f
应满足
m
f
f
m
f
L
s
H
2
1
2
，
10 Nm
（3.1-15）
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