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为什么要有行列式及其输出

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系统讲解了为什么要有行列式及其输出，对于线性代数已经忘掉和想了解行列式意义的人值得看

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二〇二一年八月五日第二章矩陣與行列式

矩陣與行列式

二〇二一年八月五日第二章矩陣與行列式

矩陣的意義 (1)



在日常生活當中，經常用到一些如長度、面積、容積、溫度或重

量的度量衡換算表，交通費率表等等許多資料表。這些資料表屬

於公式表格化的例子；但某些資料表則屬一種事實的表述，如下

表 2-1-1 為某班學生的男生、女生與戴眼鏡與不戴眼鏡的事實表

述的統計表。



某些資料表則是某種規則的表述。例如，甲乙兩人玩一種遊戲，

其規則如下：甲在一紙上寫一個 1 至 20 的任意一個數值，寫好

後只告訴乙所寫的數值，但不給乙看；如果乙相信甲所言為真，

但甲說謊話，則乙付給甲 80 元，如甲說實話，則甲應給乙 70 元；

如果乙相信甲所言為假，但甲說實話，則乙付給甲 100 元，如甲

說謊話，則甲應給乙 90 元；這些規則可以表 2-1-2 有效率的清

楚表達甲方之得失。

二〇二一年八月五日第二章矩陣與行列式

矩陣的意義 (2)



在社會科學、自然科學或應用科學裡，有許多資料或

定理可用一組性質相關的資料方便表述之。因此，數

學家對於這些具有某種相關的一組資料加以定義與規

範，並發展出一些基本運算規則，使前述應用等科學

可以更有效率來表述其定理或定義，進而發展更深入

的理念與應用。這些數學家稱這些一組相關的數值為

矩陣 (Matrix) ，矩陣理論的推展促使應用科學家更加方

便推展應用範圍。



所有電腦程式語言也多具有矩陣資料的表達方式與運

算功能，而造成數學家、應用科學家的相互合作與應

用科技的進步。例如結構力學的傳統力學分析方法因

矩陣理論的發展與電腦語言的方便，已經發展出更一

般化且適於電腦化的勁度分析法 (Stiffness Method) 。

二〇二一年八月五日第二章矩陣與行列式

矩陣的基本定義

 

11 12 1

21 22 2

1 2

1 , 1 ( ),

(Row) , (Column) A

(Row) (Column)

A (Element) ;

m m mn

m n a i m j n

a a a

m n

a i

    

 

 



 

 







   







若及為正整數 ,且每一個均為實數或複數則

稱為一個實數(或複數)矩陣

矩陣中的橫向資料稱為列縱向資料稱為行 , 故矩陣中有

列及行

稱為矩陣的元素其中表示

   

A (Order)

ij ij

m n

i j

m n

A a A a



 



該元素在矩陣中的第 , 列表示

該元素在矩陣中的第行

稱為矩陣的階數

矩陣通常以或表示之

二〇二一年八月五日第二章矩陣與行列式

矩陣的基本分類 (1)

為便於矩陣理論的論述，常依據矩陣的元素值、

行數、列數及排列形狀加以分類，常見的分

類如下：



方形矩陣 (Square Matrix) ：矩陣中的行數與

列數相等者，稱為方形矩陣。右圖為行數與

列數均為 3 的方形矩陣。



矩形矩陣 (Rectangular Matrix) ：矩陣中的行

數與列數不相等者，稱為矩形矩陣。右圖為

3 列 5 行的矩形矩陣。



行矩陣或行向量：僅有一縱行的矩陣稱為行

矩陣 (Column Matrx) 或行向量 (Column Vect

or) 。右側行矩陣為上列矩形矩陣的第 2 行。



列矩陣或列向量：僅有一橫列的矩陣稱為列

矩陣 (Row Matrix) 或列向量 (Row Vector) 。

右側為前列矩形矩陣的第 2 列列矩陣。

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