高数+线代满分同轴150课程班直播讲义和习题讲解资源-CSDN文库

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同轴150

第一章函数极限连续.pdf 500KB

渐近线.PNG 747KB

第二章一元函数微分学.pdf 681KB

2022考研数学满分过关150之高等数学下(答案版)【微信公众号：考研核心资料】免费分享.pdf 785KB

2022考研数学满分过关150之高等数学下(无答案版)【微信公众号：考研核心资料】免费分享.pdf 646KB

9.20 压轴150直播答案.pdf 203KB

9.21压轴150直播答案.pdf 276KB

第三章一元函数积分学.pdf 732KB

9.27压轴150直播答案.pdf 221KB

2022 考研数学满分过关 150

2022 考研数学满分过关 150 高数下

【例 1】求下列微分方程的通解：

（1）（北京市 1995 年竞赛题）

sin( ) sin( )y xy xy

′

+ −= +

；

（2）

(1 ) ( arctan ) 0y dx x y dy+ +− =

；

（3）

(2 1)y xy

′

= +−

；

（4）

2 2 sin

yy xy e x

−

′

【详解】（1）由

sin cos cos sin sin cos cos siny x y xy x y xy

′

+−=+

，得

2 cos siny xy

′

，

2 cos

sin

xdx

∫∫

，

ln csc cot 2 sin lny y xC

−= +

，故方程的通解为

2sin

csc cot

y y Ce−=

，

其中

为任意常数.

（2）由

1 arctan

dx y

dy y y

，得方程的通解为

( )

arctan arctan

arctan arctan arctan arctan arctan

arctan

arctan arctan

arctan (arctan )

arctan 1

dy dy

y y y yy

x e e dy C e e dy C

e ydeCe yeeC

y Ce

−

−−

−



∫∫



= += +





= += − +

= −+

∫∫

∫

其中

为任意常数.

（3）令

21u xy= +−

，则

du dy

dx dx

=+=+

，得

∫∫

，

arctan

xC= +

，

1 21

arctan

+−

= +

，故方程的通解为

2 tan 2( ) 2 1y xC x= +−+

，其中

为任意常数.

（4）令

zy=

，则

2 sin

z xz e x

−

′

，得

sin ( cos )

xdx xdx

z e e e xdxC e xC

−

−−



∫∫

= += − +





∫

故方程的通解为

( cos )

y e xC

−

=−+

，其中

为任意常数.

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2022 考研数学满分过关 150

【例 2】求微分方程

{ }

2 min ,1

yy y e

′′ ′

+− =

的通解.

【详解】当

0x <

时，

y y ye

′′ ′

+− =

，齐次方程的特征方程为

2 ( 2)( 1) 0rr r r+−= + − =

，特征

根为

2r = −

，

1r =

，故齐次方程的通解为

y Ce Ce

−

= +

设非齐次方程的特解为

y Axe

∗

，代入方程，得

A =

，故非齐次方程的通解为

xx x

y C e C e xe

−

= ++

当

≥

时，

yy y

′′ ′

+− =

，设非齐次方程的特解为

∗

，代入方程，得

B = −

，故非齐次方

程的通解为

y Ce Ce

−

= +−

由原方程的通解在

0x =

处可导，得

12 34

CC CC



+=+−







− + +=− +





解得



= +







= +





，故原方程的通解为

, 0

1 41

18 9 2

xx x

C e C e xe x

C eC ex

−



++ <





  



+ ++ − ≥

  



  



其中

,CC

为任意常数.

【例 3】（莫斯科 1975 年竞赛题）求

()fx

满足

() ()

()

1 () ()

fx fy

fx y

fxf y

−

，且

(0) 1f

′

，求

()fx

【详解】令

0xy= =

，则

(0) (0)

(0)

1 (0) (0)

−

，得

(0) 0f

由

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2022 考研数学满分过关 150

() ( )

()

( ) ()

1 () ( )

( ) lim lim

( ) 1 ()

lim (0)1 () 1 ()

1 () ( )

fx f x

fx x fx

fxf x

f x fx

f fx fx

x fxf x

∆→ ∆→

∆→

+∆

−

+∆ −

−∆

′

= =

∆∆

∆+

′



= = +=+



∆− ∆

得

()

1 ()

df x

∫∫

，故

arctan ( )fx x C= +

由

(0) 0

f =

，得

0C =

，故

( ) tanfx x=

【例 4】设曲线

()

y yx

位于第一象限过点

(1, 3 )

，在点

(, )Pxy

处的切线与

正半轴的交点为

，

且

OPA

∠=

，求曲线方程.

【详解】设切线与

轴正方向的夹角为

，

POA

∠=

，则

αθ

= +

，得

1 tan

tan tan

4 1 tan

πθ

αθ



′

= = += =



−



−

令

，则

y xu=

，

dy du u

dx dx u

=+=

−

，得

u dx

−

∫∫

，故

arctan ln(1 ) ln

u u xC− +=+

，

arctan ln 1 ln



− +=+





由

(1) 3y =

，得

ln 2

= −

，故曲线方程为

arctan ln 1 ln ln 2



− + = +−





【例 5】设连续函数

)(xf

满足

() ( )

x f t dt tf t x dt= +−

∫∫

，求

()fx

【详解】令

txu−=

，则

( ) ( ) ()

tf t x dt u x f u du

−

−=− +

∫∫

00 0

() () ()

xx x

x f t dt uf u du x f u du

−−

=−−

∫∫ ∫

两端对

求导，得

() 1 ()

f x f u du

−

= +

∫

（1）

（1）式两端对

求导，得

)()( xfxf −−=

′

（2）

（2）式两端对

求导，得

() ( )

fx f x

′′ ′

= −

（3）

由（2）式得

)(

)( xfxf −=−

′

，代入（3）式，得

0)()( =+

′′

xfxf

，特征方程为

10r +=

，特征根

为

1,2

ri= ±

，故

xCxCxf sincos)(

由

(0) 1f =

，

(0) 1f

′

= −

，得

1C =

，

1C = −

，故

( ) cos sinfx x x= −

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2022 考研数学满分过关 150

【例 6】设

()fx

为

[

)

0, +∞

上的非负连续函数，曲线

()

y f u du=

∫

、

轴、

( 0)x tt

= >

所围区域绕

轴旋转一周所得旋转体的体积与曲线

()

y fx=

、

轴、

0x =

、

( 0)

x tt= >

所围区域的面积之和为

，求

()fx

【详解】由题设得

00 0

2 () ()

tx t

x f u du dx f x dx t







∫∫ ∫

，两端对

求导，得

2 ( ) () 2

t fudu ft t

∫

令

() ( )

gt f udu=

∫

，则

() 2 () 2g t tg t t

′

，得

22 2

() 2

tdt tdt

tt t

g t e e tdt C e e C Ce

ππ

ππ π

ππ

−

−−





∫∫

= ⋅ += +=+









∫

由

(0) 0g =

，得

= −

，故

() () 2

f t g t te

−

′

= =

，即

() 2

f x xe

−

【例 7】（北京市 1990 年竞赛题）设

(ln )zf x y= +

满足

()

∂∂

+=+

∂∂

，其中

()fx

二阶可导，且

()

lim 1

f xt dt

→

= −

∫

，求

()fx

【详解】由

0 00

( ) ()

()

lim lim lim 1

x xx

f xt dt f u du

xt u

x xx

→ →→

= = −

∫∫

得

(0) 0f

，

(0) 2f

′

= −

令

u xy= +

，则

()

x xy

∂

′

∂+

，

2 2 22

2 2 22 2 22

() ()

z x yx

f u fu

x xy xy

∂−

′′ ′

= +

∂+ +

由对称性得

2 2 22

2 2 22 2 22

() ()

z y xy

f u fu

y xy xy

∂−

′′ ′

= +

∂+ +

由题设得

22 5

() ( )

fu x y e

′′

=+=

，

()

fu e C

′

= +

，故

()

f u e Cu C= ++

由

(0) 0f =

，

(0) 2f

′

= −

，得

C = −

，

C = −

，故

1 11 1

()

25 5 25

fx e x= −−

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2022 考研数学满分过关 150

【例 8】（1）（江苏省 2000 年竞赛题）设连续函数

()

满足

2 22

22 22 4

() 2 ( ) ( )

x yt

f t x y f x y dxdy t

+≤

= + ++

∫∫

，求

()

；

（2）（数一）（江苏省 1994 年竞赛题）设连续函数

()fx

满足

2 2 22

2 22 3

() ( )

x yzt

f t f x y z dV t

++≤

= ++ +

∫∫∫

，求

()fx

【详解】（1）由

22 22 2 3

00 0

( ) ( ) () 2 ()

x y f x y dxdy d r f r rdr r f r dr

θπ

+ += =

∫∫ ∫ ∫ ∫

得

() 4 ( )

f t r f r dr t

= +

∫

，两端对

求导，得

() 4 () 4f t tft t

′

−=

，故

44 4

() 4

t dt t dt

tt t

f t e e t dt C e e C Ce

ππ

ππ π

ππ

−



∫∫

= ⋅ += − +=−+





∫

由

(0) 0f =

，得

，故

( ) ( 1)

fx e

= −

（2）由

2 2 22

2 22 2 2

0 00 0

( ) () sin 4 ()

x yzt

f x y z dV d d f r r dr r f r dr

ππ

θϕ ϕ π

++≤

++ = =

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

得

() 4 ( )

f t r f r dr t

= +

∫

，两端对

求导，得

() 4 () 3f t tft t

′

−=

，故

33 3

44 4

33 3

() 3

tt t

t dt t dt

f t e e t dt C e e C Ce

ππ π

ππ

−



∫∫

= ⋅ += − +=−+





∫

由

(0) 0f =

，得

，故

() 1

fx e



= −





【例 9】求下列重极限：

（1）

lim ( 0, 0)

αβ

→

≥≥

；

（2）

()

lim

xy x y

→

−

；

（3）

lim

()

→

；

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