- 在论述分数微分方程之前 ,先说明分数微积分是必要的.所谓分数微分或积分, 不是指一个分数或 者一个分式函数的微分或积分 ,而是指微分的阶数及积分的次数不是整数 ,它可以是任意实数, 乃至是 复数 .仅仅由于习惯的原因才坚持这个名称. 由于分数微分、积分有多种定义格式, 为明确起见, 本文除非特别指明, 都采用 Riemann-Liouville (简称 R-L)意义下的分数积分和微分[ 1 -3] . 我们可以从多次积分 、积分变换、广义函数、常微分方程 ,以及类似经典积分微分作为“和”与“差”的 极限等各种途径来定义 R-L 分数积分与微分 .设 ν∈(0 , 1), a , b∈R, a <t <b , f (t)在[ a , b] 上连续 ,定 义 R-L 分数积分为 aD -ν t f (t)= 1 Γ(ν)∫ t a(t -ξ) ν-1 f(ξ)dξ, (1) 其中 Γ(ν)是第二类 Eule r 积分 ———Gamma 函数, 算子aD -ν t 中,下标 a , t 表示积分限, 上标 -ν表示ν次 积分 ,这意味着 ν(>0)将表示导数 . 若 P ∈ R + =[ 0 , +∞), 并且有整数 m ,使得 m <P <m +1 ,则 f(t)的 P 次积分定义为 aD -P t f (t)=aD -m t (aD -ν t f (t)), ν=P -m . (2) (2)表示先按(1)积分 ν次 ,再按经典意义微分整数 m 次. 设 f(t)∈C , C 是使下述(3),(4)有意义的函数类 , P ∈ R + , 且存在整数 m ,使 m ≤P <m +1 ,则在 R-L 意义下的分数导数为0 238浏览会员免费
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