调和点列中的定比点差法
【微点综述】
定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势，本文介绍定比点差法在调
和点列中的应用．
一、调和定比分点
若 AM
= λMB
且 AN
=-λNB
，则称 M ,N 调和分割 A,B，根据定义，那么 A,B 也调和分割 M ,N (其中 M
在线段 AB 内，称为内分点，N 在线段 AB 外，称为外分点)．
二、调和定比分点的性质
【性质1】在椭圆或双曲线
x
2
a
2
±
y
2
b
2
= 1 a > 0,b > 0
中，设 A,B 为椭圆或双曲线上的两点．若存在 M ,N 调
和分割 A,B，即满足 AM
= λMB
，AN
=-λNB
，则一定有
x
M
x
N
a
2
±
y
M
y
N
b
2
= 1．
证明：由已知点 A x
1
,y
1
,B x
2
,y
2
在椭圆或双曲线
x
2
a
2
±
y
2
b
2
= 1 a > 0,b > 0
上，设 M x
M
,y
M
,
N x
N
,y
N
．首先 AM
= λMB
，则由定比分点坐标公式可得
x
M
=
x
1
+λx
2
1 + λ
,
y
M
=
y
1
+λy
2
1 + λ
,
又 AN
=-λNB
，则由定比分点坐标公式可得
x
N
=
x
1
-λx
2
1 - λ
,
y
N
=
y
1
-λy
2
1 - λ
,
当 λ ≠±1 时，将 A x
1
,y
1
,B x
2
,y
2
代入曲线，有
x
2
1
a
2
±
y
2
1
b
2
= 1 ①
x
2
2
a
2
±
y
2
2
b
2
= 1 ②
，
② × λ
2
得到
λ
2
x
2
2
a
2
±
λ
2
y
2
2
b
2
= λ
2
③
③和①作差整理可得：
x
1
+λx
2
x
1
-λx
2
a
2
1 + λ
1 - λ
±
y
1
+λy
2
y
1
-λy
2
b
2
1 + λ
1 - λ
= 1，将前式代入整理得
x
M
x
N
a
2
±
y
M
y
N
b
2
= 1．
【性质2】在抛物线 y
2
= 2px 中，设 A,B 为抛物线上的两点．若存在 M ,N 调和分割 A,B ，即满足 AM
=
λMB
，AN
=-λNB
，则一定有 y
P
y
Q
= p x
P
+x
Q
．
证明：设 A x
1
,y
1
,B x
2
,y
2
，由 AM
= λMB
，得 M
x
1
+λx
2
1 + λ
,
y
1
+λy
2
1 + λ
，
由 AN
=-λNB
，得 N
x
1
-λx
2
1 - λ
,
y
1
-λy
2
1 - λ
，
又
y
1
2
= 2px
1
①
λ
2
y
2
2
= 2λ
2
px
2
②
，① - ②得：y
1
2
-λ
2
y
2
2
= p x
1
+x
1
-λ
2
x
2
-λ
2
x
2
，
即 y
1
+λy
2
y
1
-λy
2
= p x
1
+λx
2
+x
1
-λx
2
+λx
1
-λ
2
x
2
-λx
1
-λ
2
x
2
，
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