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电磁场与电磁波简明教程第2版杨儒贵高等教育课后习题答案.pdf
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电磁场与电磁波简明教程(第2版)_杨儒贵_高等教育出版社_课后习题答案
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题解一
第一章 题 解
1-1
已知三个矢量分别为
zy
eeeA
x
32 ;
zy
eeeB
x
23 ;
z
eeC
x
2 。试求①
|| |,| |,| CBA
;②单位矢量
cba
eee , ,
;③
B
A
;④
B
A
;⑤
CBA )(
及
BCA )(
;⑥
BCA )(
及
CBA )(
。
解 ①
14321
2
22222
zyx
AAAA
14213
222222
zyx
BBBB
5102
2
22222
zyx
CCCC
②
zy
eee
A
A
A
e
xa
32
14
1
14
zy
eee
B
B
B
e
xb
23
14
1
14
z
ee
C
C
C
e
xc
2
5
1
5
③ 1623
zzyyxx
BABABABA
④
zy
zy
zyx
zyx
zy
BBB
AAA eee
eeeeee
BA
x
xx
5117
213
321
⑤
zy
zy
eee
eee
CBA
x
x
22311
102
5117
因
zy
zy
zyx
zyx
CCC
AAA eee
eeeeee
CA
x
xxxx
452
102
321
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1/115
则
zy
zy
eee
eee
BCA
x
x
1386
213
452
⑥
152131532 BCA
1915027 CBA 。
1-2
已知
0z 平面内的位置矢量
A
与
X
轴的夹角为
,位置矢量
B
与
X
轴的夹角为
,试证
sinsincoscos)cos(
证明 由于两矢量位于 0z 平面内,因此均为二维矢量,它们可以分
别表示为
sincos AA
y
eeA
x
sincos BB
y
eeB
x
已知
cosBABA
,求得
BA
BABA
sinsincoscos
cos
即
sinsincoscos)cos(
1-3
已知空间三角形的顶点坐标为 )2 ,1 ,0(
1
P , )3 ,1 ,4(
2
P 及
)5 ,2 ,6(
3
P 。试问:①该三角形是否是直角三角形;②该三角形的面积
是多少?
解 由题意知,三角形三个顶点的位置矢量分别为
zy
eeP 2
1
;
zyx
eeeP 34
2
;
zyx
eeeP 526
3
那么,由顶点
P
1
指向
P
2
的边矢量为
z
eePP
x
4
12
同理,由顶点
P
2
指向
P
3
的边矢量由顶点
P
3
指向
P
1
的边矢量分别为
zy
eeePP
x
82
23
zy
eeePP
x
76
31
因两个边矢量
0)()(
2312
PPPP
,意味该两个边矢量相互垂直,所
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2/115
以该三角形是直角三角形。
因
1714
22
12
PP
69812
222
23
PP
,
所以三角形的面积为
11735.0
2
1
2312
PPPPS
1-4
已知矢量
xy
y
eeA
x
,两 点
P
1
及
P
2
的坐标位置分别为 )1 ,1 ,2(
1
P
及 )1 ,2 ,8(
2
P 。若取
P
1
及
P
2
之间的抛物线
2
2yx 或直线
21
PP 为积分路
径,试求线积分
1
2
d
p
p
lA
。
解 ①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为
2
2yx
,
yyx d4d ,则
142d6d2d4ddd
1
2
3222
1
2
1
2
1
2
1
2
yyyyyyyyxxy
P
P
P
P
P
P
P
P
lA
②积分路线为直线。因
1
P
,
2
P 两点位于
1z
平面内,过
1
P
,
2
P 两点的直
线方程为
2
28
12
1
xy
,即
46 xy
,
yx d6d
,则
14412d46d6d
1
2
2
1
2
1
2
yyyyyy
P
P
P
P
lA
。
1-5
设标量
32
yzxy
,矢量
zy
eeeA
x
22 ,试求标量函数
在点
)1 ,1 ,2(
处沿矢量
A
的方向上的方向导数。
解 已知梯度
222
3)2( yzzxyy
zyx
zyxzyx
eeeeee
那么,在点
)1 ,1 ,2(
处
的梯度为
zyx
eee 33
因此,标量函数
在点
)1 ,1 ,2(
处沿矢量
A
的方向上的方向导数为
13622233
zyxzyx
eeeeeeA
1-6 已知标量函数
z
eyx
3
sin
2
sin
,试求该标量函数
在点
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P(1,2,3)
处的最大变化率及其方向。
解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标
量函数
的梯度为
zyx
zy
eee
x
那么
z
y
z
eyxeyx
3
cos
2
sin
33
sin
2
cos
2
ee
x
z
z
eyx
3
sin
2
sin
e
将点
P(1,2,3)
的坐标代入,得
33
2
3
6
ee
zy
P
ee
。那么,在
P
点的最大变化率为
27
62
3
6
2
3
33
e
ee
zy
P
ee
P
点最大变化率方向的方向余弦为
0cos
;
27
cos
2
;
27
27
cos
2
1-7
若标量函数为
zyxxyzyx 62332
222
试求在
)1 ,2 ,1( P
点处的梯度。
解 已知梯度
zyx
zy
eee
x
,将标量函数
代入得
662432 zxyyx
zy
eee
x
再将
P
点的坐标代入,求得标量函数
在
P
点处的梯度为
y
P
ee
x
93
1-8
试求距离
||
21
rr
在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。
解 在直角坐标系中
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2
12
2
12
2
1221
zzyyxx rr
在圆柱坐标系中,已知
cosrx
,
sinry
,
zz
,因此
2
12
2
1122
2
112221
sinsincoscos zzrrrr
rr
2
121212
2
1
2
2
cos2 zzrrrr
在球坐标系中,已知
cossinrx
,
sinsinry
,
cosrz
,
因此
2
1122
2
111222
2
11122221
coscossinsinsinsincossincossin
rrrrrr rr
12121212
2
1
2
2
coscoscossinsin2
rrrr
1-9
已知两个位置矢量
1
r
及
2
r
的终点坐标分别为 ),,(
111
r 及 ),,(
222
r ,
试证
1
r
与
2
r
之间的夹角
为
212121
coscos)cos(sinsincos
证明 根据题意,两个位置矢量在直角坐标系中可表示为
111111111
cossinsincossin
rrr
zyx
eeer
222222222
cossinsincossin
rrr
zyx
eeer
已知两个矢量的标积为
cos
2121
rrrr
,这里
为两个矢量的夹角。因此夹
角
为
21
21
cos
rr
rr
式中
)coscos
sinsinsinsincossincos(sin
21
221122112121
rrrr
2121
rrrr
因此,
212121
21212121
coscos)cos(sinsin
coscos)sinsincos(cossinsincos
1-10
若
C
为常数,
A
及
k
为常矢量,试证:
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