极点极线在圆锥曲线中的应用.pdf

在高中数学中，极点极线是圆锥曲线的一个重要概念，主要应用于解析几何的问题解决。这个概念在椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线上有独特的几何意义和应用。 我们理解一下极点和极线的定义。对于一个圆锥曲线C，给定点P(0,0)非曲线中心，直线l通过点P，那么点P被称为直线l相对于曲线C的极点，而直线l则被称为点P关于曲线C的极线。配极原则指出，如果两点共线，它们的极线必然交于一点；同样，如果两条直线共点，它们的极点也必定共点。 以椭圆为例，我们可以详细探讨极点极线的几何意义： 1. 当点P在椭圆上时，其极线l是椭圆在点P处的切线。这意味着如果椭圆的方程为22221xyab+=，点P(x,y)在椭圆上，那么极线l的方程为22221xyxy+=，这正是椭圆上点P的切线方程。 2. 如果点P位于椭圆外部，极线l会与椭圆相交，且是连接点P到椭圆的切线的切点的弦所在的直线。这意味着点P和极线l上的点A、B满足椭圆方程，极线l就是弦AB的直线方程。 3. 当点P在椭圆内部时，极线l不会与椭圆相交，而是与椭圆相离。极线l是经过点P的弦的两个端点处切线的交点轨迹，且与以点P为中点的弦平行。 此外，极点极线的概念还可以用于构建自极三角形。在椭圆E内，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点N，延长AD、BC、BA、CD，它们交于点M、P，形成的△PMN称为自极三角形。如果N是极点，MP是它的极线；M是极点，PN是极线；P是极点，NM是极线。 在高考题目中，极点极线的应用可以帮助快速判断直线与圆锥曲线的关系。例如，如果已知直线l通过点A，且点A在圆C上，那么直线l是圆C的切线。如果点A在圆C内，直线l与圆C相离；如果点A在圆C外，直线l与圆C相离。这些关系可以通过极点极线的定义直接得出。 另外，如题所示，一个具体的例子是2020年高考全国卷I理科20题，其中椭圆E的左、右顶点A、B，上顶点G，以及点P在直线x=6上，题目要求找到直线CD恒过的定点。解答这类问题通常需要先确定椭圆的方程，然后利用极点极线的性质来证明直线CD的特定关系，从而找出它恒过的定点。 极点极线在高中数学的圆锥曲线部分起着关键的作用，不仅加深了对曲线的理解，还在解题策略中提供了一种有力的工具。掌握极点极线的概念和应用，能够帮助学生更好地理解和解决问题。