2021年全国高中数学联赛十八校第一次联考试题（含答案）.pdf

全国高中数学联赛十八校第一次联考的试题覆盖了高中数学的多个重要知识点，包括数列、解析几何、代数、三角函数和函数性质等。试题以填空题和解答题的形式出现，不仅考查学生的数学计算能力，还注重考察他们的逻辑推理和解题思路。以下是根据提供的内容部分解析的知识点。 1. 数列的性质和求和问题： - 在填空题中，考查了学生对数列及其性质的理解。例如，数列{an}的定义基于整数n的个位数和平方运算，要求求出数列前2020项的和S2020。解题的关键在于找到数列的周期性或通项公式，然后求和。 2. 空间几何和体积计算： - 题目要求对正方体进行顶点染色，并求出红色四面体与蓝色四面体公共部分的体积。这里考查的是学生对空间几何图形的直观感知以及体积计算的能力。 3. 数列极限和递推关系： - 给出数列的递推公式a_{n+1} = [a_n] + 1，其中[a_n]和{a_n}分别表示an的整数部分和小数部分。求解a_{2020}的值，这不仅需要对数列的递推性质有深刻理解，还需要掌握极限和极限存在的条件。 4. 解析几何和直线方程： - 要求找出直线斜率存在的条件，使其与给定的椭圆和双曲线交于特定的点，且满足一定的位置关系。这部分涉及到曲线方程的理解、点斜式和斜截式方程的应用，以及方程组求解。 5. 小数和分数的性质： - 涉及到了实数的运算，需要对小数部分进行分析和计算，解题时要注意到整数和小数部分的关系，以及它们在运算中的作用。 6. 复数和三角函数： - 对于复数w=a+bi的性质进行了讨论，其中a和b都是大于等于3的整数，且满足a^2 + b^2 = 25。这涉及到复数的加减运算、模的计算和辐角主值的求解。 7. 函数零点的分布： - 要求找出函数y=tan(2019x)−tan(2020x)+tan(2021x)在区间[0,π]中的零点个数。这里考查的是三角函数的性质、零点定理、周期性和函数图像的绘制。 8. 数列和不等式的应用： - 通过解析给定的数列，得到x, y, z三个正整数和为特定平方数。这里考查的是数列和不等式的综合应用，以及求解整数解的能力。 以上知识点的考察旨在检验学生的数学理论基础和实际应用能力，尤其强调对数学概念的深入理解及其在复杂问题中的灵活运用。针对解答题部分，我们需要关注题目的具体条件，构建合理的数学模型，运用恰当的数学工具进行推导和计算。通过这些题目，可以锻炼学生解决复杂数学问题的能力，为高考及其他高级数学竞赛打下坚实的基础。