过河问题 利用宽度优先搜索

### 过河问题：利用宽度优先搜索解决商人与随从的安全过河问题 #### 问题背景及描述 在本问题中，我们面临一个经典的逻辑谜题：如何让商人及其随从安全地过河而不发生任何意外。初始状态下，商人与随从均位于河的一侧，假设共有商人 \(n\) 人、随从 \(m\) 人（其中 \(n, m \leq 100\)）。为了避免随从人数超过商人时发生冲突或意外，商人们需要设计一种安全的过河策略。 #### 解决方案 为了解决该问题，本文采用宽度优先搜索（BFS）算法来探索所有可行的过河方案。通过枚举所有可能的状态，并利用宽度优先搜索来遍历这些状态，我们可以找到一种确保商人与随从都能安全过河的方案。下面将详细介绍解决方案的设计思想、实现过程以及代码分析。 #### 设计思想 1. **状态定义**：我们将每一种可能的过河情况视为一个状态，每个状态由两个整数表示，第一个整数代表当前岸上的商人数量，第二个整数代表当前岸上的随从数量。同时还需要记录船的位置（当前在哪一侧），因此状态可以表示为三元组 (商人数, 随从数, 船的位置)。 2. **状态转移**：从任意一个状态出发，可以转移到若干个新的状态。例如，当船在左侧时，可以从当前岸上选择一定数量的商人和/或随从上船，然后将船划到对岸，再让一部分人下船。这样就可以生成一个新的状态。 3. **边界条件**：为了保证安全性，需要确保任何时候任一岸上的随从人数都不多于商人人数（除非随从人数为零或者商人人数为零）。 4. **终止条件**：当所有人员都成功到达对岸时，即找到了一个安全的过河方案。 #### 实现细节 1. **数据结构**：使用数组 `f` 来标记某个状态是否已经被访问过，其中 `f[n][m][0]` 表示初始状态下，船在左边；`f[n][m][1]` 表示船在右边。使用数组 `a`, `b`, `sh` 分别记录当前状态下的商人数量、随从数量和船的方向。 2. **状态生成**：通过数组 `g` 枚举每次可能的上船组合，如 `(2,0)` 表示两名商人上船，`(0,2)` 表示两名随从上船等。 3. **宽度优先搜索**：使用队列 `le` 和 `ri` 来存储当前层和下一层的状态。初始时，`le` 为 0，`ri` 为 1。循环过程中，不断地生成新的状态并将其加入队列，直到找到解或所有可能的状态都被尝试过为止。 4. **路径恢复**：当找到解决方案后，需要逆向跟踪每个状态的父状态，从而恢复出整个过河路径。 #### 代码解析 ```c #include<stdio.h> #include<stdlib.h> int main() { int n, m, le, ri; char f[105][105][2]; int a[10010], b[10010], fa[10010], sh[10010]; int a1, b1, i; int g[5][2] = {{2,0},{0,2},{1,1},{1,0},{0,1}}; char flag; int ans[1000], w, sign; scanf("%d%d", &n, &m); if (n < m) { printf("Can't pass!\n"); } else { memset(f, 0, sizeof(f)); f[n][m][0] = 1; le = 0; ri = 1; a[1] = n; b[1] = m; sh[1] = -1; flag = 0; while (le < ri) { le++; for (i = 0; i < 5; i++) { a1 = a[le] + sh[le] * g[i][0]; b1 = b[le] + sh[le] * g[i][1]; // 状态合法性检查 if (a1 >= 0 && b1 >= 0 && a1 <= n && b1 <= m && ((a1 >= b1 || a1 == 0) && (n - a1 >= m - b1 || a1 == n)) && !f[a1][b1][sign]) { ri++; a[ri] = a1; b[ri] = b1; sh[ri] = -sh[le]; fa[ri] = le; f[a1][b1][sign] = 1; if (a1 == 0 && b1 == 0) { flag = 1; break; } } } if (flag) break; } if (!flag) { printf("Can't pass!\n"); } else { w = 0; while (1) { w++; ans[w] = ri; if (ri == 1) break; ri = fa[ri]; } printf("Solution:\n"); for (i = w; i > 0; i--) { printf("A: %d %d B: %d %d\n", a[ans[i]], b[ans[i]], n - a[ans[i]], m - b[ans[i]]); } } } return 0; } ``` 通过上述代码，我们能够有效地解决商人与随从的安全过河问题，并给出具体的过河方案。此方法利用了宽度优先搜索的思想，通过枚举所有可能的状态来寻找解决方案，具有较强的通用性和实用性。