黄冈中学高一数学教案周期现象、角的概念的推广与弧度制
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主讲：陈逸
一周强化
一、一周知识概述
本周首先学习了周期现象，通过实例使学生感受周期现象，并初步体会周期函数是刻画周期现象的一类特殊函数．因为自然界中存在着大量的周期现象，而三角函数是刻画周期现象的一类重要模型，正是为了研究周期现象中蕴含的数学规律，我们才学习三角函数．
角的概念的推广是学习三角函数的基础，要理解角的概念推广的必要性，理解任意角的概念，根据角的终边旋转方向，能判定正角、负角和零角．然后还学习了象限角，终边相同角的表示方法．
最后学习了弧度制，要掌握弧度与角度之间的换算关系，能正确地进行弧度与角度之间的转换．
二、重难点知识归纳
（一）角的概念的推广
1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角.
没有作任何旋转时称它形成了一个零角.
2、象限角：
如果使角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角．
3、终边相同的角的表示法：
一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内（而且有且只有这样的角），可以用式子 来表示．
因此，对于给定的顶点、始边和终边，确定了一个由无限个角组成的集合，与α角终边相同的角的集合可记作： ．
注意以下四点：
（1）k∈Z；
（2）α是任意角；
（3） 与α之间是“＋”号；
（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，他们相差 的整数倍．
（二）弧度制
1、弧度的定义：在单位圆中长为1个单位长度的弧所对应的圆心角称为1弧度的角．
一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
2、弧度与角度的换算
．
3、扇形弧长与面积公式
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积，即l=|α|r，
扇形面积S= lR，其中l是扇形的弧长，R是圆的半径．
三、典型例题剖析
例1、给出下面四个命题：①终边相同的角相等．②第一象限的角都是正角，③小于90°的角是锐角，④钝角是第二象限的角，其中正确命题的序号是_______________．
精析：本题涉及到正角、负角、锐角、象限角的定义，应注意对照所学概念逐一进行判定，并且否定一个命题只需举一反例即可．
解答：30°角与390°角终边相同而不相等，故命题（1）错误，
－330°=－360°＋30°是第一象限的角但为负角，故命题（2）错误，
－30°小于90°但不为锐角，故命题（3）错误，
钝角大于90°而小于180°，是第二象限的角，所以只有命题（4）正确，故填④．
例2、写出终边在下列位置的角的集合．
（1）x轴的非正半轴上； （2）y轴上．
分析：0°到360°的终边落在x轴的非正半轴上的角是180°，则可直接写出其集合；而终边落在y轴上的有两个，一个是90°，一个是270°，先写出两个集合后再取并集．
解：（1）∵在0°～360°范围内，终边在x轴非正半轴上的角为180°，
∴终边在 x轴非正半轴上的所有角的集合是 ．
（2）∵在0°～360°范围内，终边在y轴的正半轴上的角为90°，终边在y轴的负半轴上的角为270°，∴终边在y轴正半轴、负半轴上的所有角分别是： ．
， ①
， ②
在①式等号右边的第一项是180°的所有偶数（2k）倍；在②式等号右边的第一项是
180°的所有奇数（2k＋1）倍，因此，它们可以合并为180°的所有整数倍，①式和②式可以分别写成 ，
∴终边在y轴上的角的集合是 ．
例3、设角 ．
（1）将 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）将 用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．
解析：运用角度与弧度的互化公式，用待定系数法找一个k和α，使α1，α2化为2kπ+α的形式，而 化为k•360°+α的形式．
解答：（1） ，
，同理 ，
∴α1在第二象限，α2在第一象限．
（2） ，
解不等式 ，得k=－2，或k=－1．
∴在－720°～0°之间与 有相同终边的角是－612°和－252°；
同理，在－720°～0°之间与 有相同终边的角是－420°和－60°．
例4、已知 是第三象限的角，问 是哪个象限的角？
解析：先把 是第三象限的角用不等式表达出来，再对k进行分类讨论得出结果，也可对 的取值范围进行结构分析，利用数形结合求解．
解答：∵α是第三象限的角，
，
．
（1）当k=3m(m∈z)时，可得 ，
此时， 的终边在第一象限．
（2）当k=3m＋1(m∈z)时，可得 ，
此时， 的终边在第三象限．
（3）当k=3m＋2(m∈z)时，可得 ，
此时， 的终边在第四象限．
综上可知， 是第一或第三或第四象限角．
例5、试证：扇形周长一定时，当且仅当圆心角α=2时，扇形的面积最大．
分析：利用扇形面积公式及二次函数求最值的方法求解．
解：设扇形的半径为r，弧长是l，面积为S，则周长为2r＋l．由已知，周长一定，设为A(A是常数)，根据扇形的面积公式，
得 ，
这是关于r的二次函数，当且仅当 时，S有最大值，此时
．
即当圆心角α=2时，扇形面积最大．
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