黄冈中学高一数学教案
黄冈中学高一数学教案 数列 等差数列 ________________________________________ 主讲:黄冈中学教师 程继承 一周强化 一、一周知识概述 本周学习了数列、等差数列的有关概念,通项公式及性质,以及用递推公式给出数列的方法.数列是高中数学重要的内容之一.学习这些内容,不仅是数学学习中承前启后的需要,同时也是因为数列在生活实践中有着广泛的实际应用,而且学习数列,要经常观察、分析、归纳、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这有助于学生数学能力的提高.下面我们列举一些课本中未提到,但解题中常出现的概念或常用到的一些性质: 1、数列除了按项数的有限与无限分类外,还可以按项与项之间的大小关系分类为:递增数列,递减数列,常数列,摆动数列. 2、等差数列{an}中,若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*),则am+an=ap+aq. 3、2an=an+k+an-k(n>k,n、k∈N*). 4、当d=0时,等差数列为常数列;d>0时,等差数列为递增数列;d<0时,等差数列为递减数列. 二、重点知识讲解 1、数列的概念及数列的通项公式 对数列的概念的理解,重点放在“一定次序”上,于是组成两个数列的数相同而次序不同,则两个数列为不同数列,在数列中同一个数可以重复出现.此外,要注意区别{an}与an的含义.对于数列的通项公式的理解应注意到它是反映数列{an}中第n项an与其项数n的一个关系式,此关系式可看作定义域为正整数集或其有限子集的一个函数.当然,并非所有的数列都有通项公式,即便有,也可能不唯一.在通项公式中,令n=1,2,3,…就可求得相应的项a1,a2,a3,… 例1、已知数列的通项公式为 ,问 是不是它的项?如果是的话是第几项? 解析: 令 ,解得n=4,或n=-5(舍去), 故 是数列的第四项. 小结: 判断某数是否为数列中的一项,只需将它代入通项公式中求n.若存在正整数n,说明此数是数列的项. 例2、设函数f(x)=log2x-logx2(0<x<1),数列{an}中的第n项an满足 (n=1,2,3,…). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断此数列的单调性. 解析: (1)由 , 即 , 由求根公式,并注意0<x<1,即 ,有an<0, 可得 . (2) , 又∵ an<0,∴ an+1>an.(n=1,2,…) 故,数列{an}是单调递增数列. 小结: 数列与前面所学的函数知识有着密切的联系,解题中要注意函数的知识运用及研究函数的方法来研究数列.此题中由0<x<1的条件知an<0,以及an<0, 有an+1>an都是学生易忽视、易错的地方,应引起注意. 2、等差数列的概念及通项公式 例3、已知四个数成等差数列,其四个数的平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求此四个数. 解析: 设此四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d. 则 由②,得 ,代入①求得 . 故,所求四个数为8,5,2,-1;或1,-2,-5,-8;或-1,2,5,8;或-8,-5,-2,1. 小结: ①若三个数成等差数列可设为a-d,a,a+d. ②因为四个数成等差数列,所以所求四数给出时应有“一定次序”防止少写结论. 例4、有两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们共有多少相同的项? 解析: 显然11为它们的第一个相同项,因为两个数列的公差分别是3和4,于是它们的相同项组成的等差数列的公差为12,记它们组成的数列为{an}, 则an=11+12(n-1)=12n-1. 由 解得n≤25. 故共有25个相同的项. 小结: 熟记通项公式是解答与等差数列相关问题的关键.其次a1,d是等差数列的核心,因为有了它们,我们想求什么都可以. 三、难点知识剖析 1、如何由数列的前面几项写出一个通项公式. 利用观察、分析、归纳的思想方法得出通项公式,本身也是一个重要的数学思想. 例5、写出数列的一个通项公式,使它的前5项分别是下列各数: (1) (2) ; (3)5,55,555,5555,55555. 解析: (1) (2) (3) 小结: 根据数列的前n项写通项公式,一般围绕2n,2n±1,n2,n2±1,2n,2n±1,n±1等思考,此外还有1- ,10n-1等. 2、活用等差数列的性质解题. 例6、在等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10+a12=120,求2a9-a10的值. 解析: 小结: 等差数列中的等差中项的性质,即an-k+an+k=2an,解题常常用到,应牢记它. 等差数列前n项和 ________________________________________ 主讲:黄冈中学教师 袁小幼 一周强化 一、一周知识概述 本周主要是讲解等差数列前n项和公式、性质及应用,通过学习,使同学们了解等差数列前n项和公式推导过程(倒序求和),掌握等差数列前n项和公式的两种不同形式,并能利用它们解决一些实际问题,培养学生对数学的理解能力,观察能力以及对数学公式的应用能力和分析问题、解决问题的能力. 二、重难点知识概述 1、在推导等差数列前n项和公式的过程中用到了数列求和的两种基本思想方法——分组求和法及倒序相加法. 2、前n项求和公式为 当d≠0时,Sn是关于n的二次函数且常数项为0,可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列的前n项和问题,如可以根据二次函数的图象了解Sn的增、减变化及最值等问题.当d=0时,{an}是常数列,Sn=na1,若a1不为零,则Sn是关于n的一次(正比例)函数,若a1=0,则Sn=0. 3、设数列{an}是等差数列,项数为m,其奇数项之和为S奇,偶数项之和记为S偶,那么当项数m为偶数2n时,S偶-S奇=nd, ;当项数m为奇数2n+1时,S奇-S偶=an+1, .(不必强记这些结论,关键是掌握其证法,对于提高解题的灵活性是有益的.) 4、若{an},{bn}为等差数列,前n项和为An,Bn,则 . 5、若{an}为等差数列,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,仍为等差数列. 6、等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数(d≠0),而且常数项为零,这是等差数列前n项和公式的形式特征,我们可以根据这个特征,判断 不可能是等差数列的前n项和,利用Sn=an2+bn有时可使计算更简便. 7、在解决等差数列有关问题时,涉及的五个量an,n,d,a1,Sn通过方程组知三可求二. 8、前n项和Sn与通项an的关系是:Sn=a1+a2+…+an 由Sn求an一定要讨论n=1,然后进行综合. 二、例题讲解 例1、在等差数列{an}中,已知a6+a9+a12+a15=34,求前20项之和. 解法1: 解法2: 例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,(1)设Sn=3n2-2n,求证{an}成等差数列;(2)若Sn=3n2-2n-1,问{an}是否为等差数列? 解:(1) (2)Sn=3n2-2n-1,这时S1=0, 而n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-5, a1=S1=0,a2=6×2-5=7,a3=6×3-5=13, a1,a2,a3不是等差数列,故{an}不是等差数列. 例3、等差数列{an}中,a1>0,前n项之和为Sn,且S7=S13,问n为何值时,Sn最大? 解法1: 设公差为d,若d≥0,则an=a1+(n-1)d>0, ∴ Sn关于n单调递增,与S7=S13矛盾,故d<0. 又 ∴ 点(n,Sn)在开口朝下的抛物线上, ∴ 时,Sn最大. 解法2: 由S7=S13知,a8+a9+a10+a11+a12+a13=0, ∵ a8+a12=2a10,a9+a13=2a11. ∴ a10+a11=0,设公差为d,若d≥0,由a1>0, 知a10>0,a11>0,与a10+a11=0矛盾, ∴ d<0,∴ a10>a11. 又a10+a11=0,∴ a10>0,a11<0. ∴ S10最大,即n=10时,Sn最大. 例4、设等差数列的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由. 解:(1)依题意,有 (2)解法一: ∵ d<0,∴ a1>a2>a3>…>a12>a13 因此,在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0, 则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值,由于 解法二: 解法三: 由d<0可知,a1>a2>a3>…>a12>a13, ∴ 在1≤n≤12中,存在自然数n,使得an>0,an+1<0,则Sn就是S1,S2,S3,…,S12中的最大的. 故在S1,S2,S3,…,S12中S6最大. 点拨: 凡遇等差数列前n项和最值的问题,寻找临界项是解决问题的关键,寻找临界项的办法是解关于自然数的不等式组. (1)a1>0,d<0寻找临界项的办法是 (2)a1<0,d>0寻找临界项的办法是 . 例5、在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和. 解析: 本题实际上是求数列{an}前n项的绝对值之和,由绝对值的意义,应首先分清这个数列的哪些项是负的,哪些项是非负的,由已知数列{an}是首项为负数的递增数列,因此应先求出这个数列从首项起共有哪些项是负数,然后再分段求出前n项的绝对值之和. 解答: 数列{an}的公差 ∴ an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63. 由an<0,得3n-63<0,即n<21. ∴ 数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数. 设Sn,Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项之和. ∴ 数列{|an|}的前n项和. 例6、等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为__________. 解析: 利用等差数列依次每k项之和仍成等差数列或 也成等差数列这些性质,非常方便. 解答:方法一: 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m亦成等差数列, ∴ Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm), 则 S3m=3(S2m-Sm)=3(100-30)=210. 方法二: 在等差数列{an}中, 即数列 构成首项为a1,公差为 的等差数列, 依题中条件知 成等差数列. 例7、含2n+1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为( ). A. B. C. D. 精析: 等差数列中奇数项与偶数项也分别构成等差数列,可求和,然后作比,关于等差数列奇数项和与偶数项和有一些常用性质,熟悉并掌握这些性质对我们解题大有裨益. 解答: 答案:B 例8、已知两个等差数列{an},{bn},它们前n项和的比为 解: 等比数列 ________________________________________ 主讲:黄冈中学高级教师 王昕昉 一周强化 一、一周知识概述 1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示. 注意: (1)q是指从第2项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即 (2)由定义可知,等比数列的任意一项都不为0,因而公比q也不为0. (3)公比q可为正数、负数,特别当q=1时,为常数列a1,a1,……;q=-1时,数列为a1,-a1,a1,-a1,……. (4)要证明一个数列是等比数列,必须对任意n∈N+,an+1÷an=q,或an÷an-1=q(n≥2)都成立. 2、等比数列的通项公式 由a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,……,归纳得出an=a1qn-1.此公式对n=1也成立. 注意: (1)通项公式an=a1qn-1是通过不完全归纳法得出的. (2)由等比数列通项公式可得 ,当q>0且q≠1时,y=qx是一个指数函数,而 是一个不为0的常数与指数函数的积.因此等比数列{an}的图象是 的图象上的一群孤立点. (3)公式中含四个量a1,an,d,n,如已知任意三个,可求第四个量. 3、等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项. 注意: (1)如果G是a与b的等比中项,那么 ,即 .所以两个同号的数才有等比中项,而且等比中项有两个,它们互为相反数. (2)当a>0,b>0时, 也叫做a,b的几何平均数. (3)在等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等比中项. 4、等比数列的判定方法 (1)an=an-1•q(n≥2),q是不为零的常数,an-1≠0 {an}是等比数列. (2)an2=an-1•an+1(n≥2, an-1,an,an+1≠0) {an}是等比数列. (3)an=c•qn(c,q均是不为零的常数) {an}是等比数列. 5、等比数列的性质 设{an}为等比数列,首项为a1,公比为q. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列. (2)an=am•qn-m(m、n∈N*). (3)当m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)时,有am•an=ap•aq. (4){an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项之积. (5)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an•bn}是公比为qq′的等比数列;数列 是公比为 的等比数列;{|an|}是公比为|q|的等比数列. (6)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为qk+1. (7)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为lgq的等差数列. (8){an}中,连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列. (9)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,am、an、ap成等比数列. 6、等比数列的前n项和公式 设等比数列a1,a2,a3,…,an,…,它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an,根据等比数列的通项公式可将Sn写成Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. …① ①两边乘以q得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn …② 两式相减得 (1-q)Sn=a1-a1qn, 由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式 . 因为an=a1qn-1,所以上面公式还可以写成 . 当q=1时,Sn=na1. 注意: ①公比为1与公比不为1时公式不同; ②当已知a1,q,n时,用公式 ;当已知a1,q,an时,用公式 . ③问Sn公式推导可以有几种方法? 证法二:由等比定义知: 证法三: 在解决等比数列问题时,如已知a1,an,q,n,Sn中任意三个,就可求出其余2个. 7、等比数列前n项和的一般形式 一般地,如果a1,q是确定的,那么 8、等比数列的前n项和的性质 (1)若某数列前n项和公式为Sn=an-1(a≠0,±1),则{an}成等比数列. (2)若数列{an}是公比为q的等比数列,则 (ⅰ)Sn+m=Sn+qn•Sm. (ⅱ)在等比数列中,若项数为2n(n∈N*),则 (ⅲ)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列. 二、重点知识讲解 1、利用等比数列的通项公式进行计算. 例1、在等比数列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8. ①求通项公式,②求a1a3a5a7a9. 解析: ①设公比为q则由已知得 说明:等比数列的通项公式中涉及a1,an,q,n四个量,已知其中任意三个量,求另一个量归结为解方程或方程组问题. 例2、有四个数,前三个成等差,后三个成等比,首末两项和37,中间两项和36,求这四个数. 解析1: 按前三个数成等差可设四个数为:a-d,a,a+d, ,由已知得: 解析2: 按后三个数成等比可设四个数为2a-aq,a,aq,aq2, 由已知得: 解析3: 依条件设四个数分别为x,y,36-y,37-x, ,解得即可. 说明: 要注意设元的技巧,如三个数成等比数列,可设为 ,a,aq或a,aq,aq2,四个数成等比可设为a,aq,aq2,aq3. 2、利用等比数列的性质解题 例3、等比数列{an}中, (1)已知 ,求通项公式. (2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值. 解析: 说明: 合理应用等比数列的有关性质,特别是性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am•an=ap•aq的使用使运算变得简单. 3、如何证明所给数列是否为等比数列 例4、已知等比数列{an},求证对任意n∈N*,方程x2+(an+12+1)x+anan+2=0都有一个相同的根,且另一个根xi(i=1,2,3,…,n)仍组成一个等比数列{xn}. 解析: 由已知an+12=an•an+2,故x=-1总满足方程. 因此原方程有一个公共根x=-1. 当n依次取正整数时,设方程另一个根为xi(i=1,2,…,n),数列{an}的首项为a1,公比为q,据韦达定义理有: 所以数列{xn}为等比数列. 例5、设{an}是等差数列, ,已知 ,求等差数列的通项an. 解析: 设{an}的公差为d,则 为常数, 故得数列{bn}为等比数列. 说明: 证明数列{an}为等比数列,应该用等比数列的定义证,一般采用的形式为:①n≥2时,有 (常数≠0);②n∈N*时,有 (常数≠0). 4、利用等比数列的前n项和公式进行计算 例6、若数列{an}成等比数列,且an>0,前n项和为80,其中最大项为54,前2n项之和为6560,求S100=? 解析: 说明: 等比数列的前n项和公式中涉及a1,an,n,q,Sn五个量,已知其中任意三个,可通过解方程或方程组求得另两个量. 5、利用an,Sn的公式及等比数列的性质解题. 例7、数列{an}中,a1=1,且anan+1=4n,求前n项和Sn. 解析:由已知得anan+1=4n……① an+1an+2=4n+1 ……② a1≠0,②÷①得 . ∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…; a2,a4,a6,…,a2n,…都是公比q=4的等比数列,a1=1,a2=4. ①当n为奇数时, ②当n为偶数时, 6、解决与等差,等比有关的综合问题. 例8、设Sn是等差数列{an}前n项和,已知 的等比中项为 的等差中项为1,求等差数列{an}的通项公式an. 解析: 设等差数列{an}的首项为a,公差为d,由题意得 说明: 利用等差、等比数列的概念、基本公式及性质解决有关等差、等比数列的综合性问题,本着化多为少的原则,解题时要抓住a,d(或q). 例9、 解析:⑴拆项法:当a≠1时得: (一定要讨论,不要忽视). ⑵错位相减法:当a=1时, 当a≠1时, 说明: 可将数列的各项拆项重新分组构成等差、等比数列求和;如{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则数列{anbn}的前n项和可采用错位相减法;有些数列求和也可采用裂项法.在求含参数的等比数列的前n项和时,要分公比q=1和q≠1讨论. 数列的求和、通项及应用 ________________________________________ 主讲:黄冈中学高级教师 陈红明 一周强化 一、一周知识概述 本周学习了数列的求和的几种方法——错位相减法、集项求和法、裂项相消法,并且学习了由递推关系式求通项的几种方法——累加法、累积法、待定系数法等,了解并掌握这些方法对于深入理解数列,进一步研究数列有重要意义. 二、重点知识讲解 1、数列的前n项和的求法 例1、求和. 分析: (1)考察右边第k项为 ,它可以看作等比数列{10n}与常数列{ }的差,可采用集项求和法(所谓集项是指将有规律的项放在一起). (2)将和式看作数列的前n项,则此数列的第k项为(n-R+1)2R-1,可考虑用错位相减法求和,将Sn乘以2减去Sn后用等比数列的前n项和公式. (3)将和式看作数列的前n项,考察此数列的第k项 ,可用裂项相消法求和. 解答: 小结: 1、如果一个数列的项可以表示成一个等差(等比)数列与另一个等比数列的和或差,可用集项求和法求和. 2、如果一个数列的项可以表示成一个等差数列与一个等比数列(公比不为1)的对应项的积可由错位相减法进行求和. 3、如果一个数列的项可以表示成两个数之差,且能产生正负相消的项,可考虑用裂项求和法. 例2、设数列{an}的前n项和为Sn,且 ,求数列{bn}的前n项和Tn. 分析:由Sn与an的关系可求出an或Sn,求出bn.分析bn的组成,选择适当方法求和. 解答: 小结: 数列中如出现(-1)n时,可考虑正、负项结合,或单正项求和,单负项求和. 2、数列的通项的求法 例3、已知数列{an}满足 ,求数列{an}的通项公式. 解法一: 用n-1换条件 中的n,得 (n≥2),作差得 解法二: 小结: 一般地,形如an+1=pan+q(qp≠0,q≠1)的递推关系式给出的数列,可考虑以上两种方法求通项. 例4、根据下列条件,分别求出数列{an}的通项公式. (1) (n≥2); (2) (2000年全国高考题) =0(n∈N). 解答:(1)由题知, 由例1中的方法求出bn即可得an. (2)由条件知 , 小结: 形如an+1-an=f(n)的递推关系式给出的数列可考虑用累加法求通项,形如 的递推关系式给出的数列可考虑用累积法求通项. 3、关于分期付款的计算问题 分期付款中的有关规定: (1)在分期付款中,每期的利息均按复利计算; (2)分期付款中,每期所付款额相同; (3)在分期付款时,商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间的推移而增加; (4)各期所付款额连同最后一期付款时所付款额本利之和等于商品售价从购买到最后一期付款时的本利和. 分期付款的计算: 设商品售价a元,分n个月付清,月息为p,这样有二种思考方式; (1)可以把分期付款理解为零存整取,到最后一次付款时,一次性冲掉应付款和利息. 设每月等额还x元,则有等式 x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)n-1=a(1+p)n. (2)还可以理解为每次付款后冲掉部分应付款及相应利息. 设每次还x元,每次还款后欠款所组成的数列为{an},则有 令an=0,则化归为第1种情况,因此两种思路殊途同归. 一般数列应用题首先应建立适当的数列,然后可以先写出具体的几项以加深对题意的理解,并发现规律,有的题目可以建立递推关系式. 例5、某人的购房总额为72000元,首付43200元,余下28800元分10年还清.按年利7.5%计息,并且每年复利计算一次,那么每年应付款为多少元?(精确到百元) 解法一: 按第1种思路,设每年还款x元,则有 解法二: 按第2种思路,设每年还款x元,每次还款后欠银行的钱数构成数列{an},则 令 a10=0,解得x≈4200元. 小结: 解数列应用题关键是如何将实际问题转化为数学问题,而建立正确的数学模型.通常是依据题意直接建立等差,等比数列模型或依据题意得到某种递推关系,再转化为等差、等比数列模型,从而利用两类特殊数列的性质达到解决问题的目的. 1、(全国高考题)设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn与an的关系式是: ,其中b是与n无关的常数,且b≠-1. (1)求an与an-1的关系式; (2)写出用n和b表示an的表达式; 精析:思路一(迭代法) 思路2(累加法) 由(1)知: 思路3(化归为xn=Axn-1+R 用待定系数法) 思路4(构造新数列后用累加法) 答案:
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