黄冈中学高一数学教案

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黄冈中学高一数学教案 数列 等差数列 ________________________________________ 主讲:黄冈中学教师  程继承 一周强化 一、一周知识概述   本周学习了数列、等差数列的有关概念,通项公式及性质,以及用递推公式给出数列的方法.数列是高中数学重要的内容之一.学习这些内容,不仅是数学学习中承前启后的需要,同时也是因为数列在生活实践中有着广泛的实际应用,而且学习数列,要经常观察、分析、归纳、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这有助于学生数学能力的提高.下面我们列举一些课本中未提到,但解题中常出现的概念或常用到的一些性质: 1、数列除了按项数的有限与无限分类外,还可以按项与项之间的大小关系分类为:递增数列,递减数列,常数列,摆动数列. 2、等差数列{an}中,若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*),则am+an=ap+aq. 3、2an=an+k+an-k(n>k,n、k∈N*). 4、当d=0时,等差数列为常数列;d>0时,等差数列为递增数列;d<0时,等差数列为递减数列. 二、重点知识讲解 1、数列的概念及数列的通项公式   对数列的概念的理解,重点放在“一定次序”上,于是组成两个数列的数相同而次序不同,则两个数列为不同数列,在数列中同一个数可以重复出现.此外,要注意区别{an}与an的含义.对于数列的通项公式的理解应注意到它是反映数列{an}中第n项an与其项数n的一个关系式,此关系式可看作定义域为正整数集或其有限子集的一个函数.当然,并非所有的数列都有通项公式,即便有,也可能不唯一.在通项公式中,令n=1,2,3,…就可求得相应的项a1,a2,a3,… 例1、已知数列的通项公式为 ,问 是不是它的项?如果是的话是第几项? 解析:   令 ,解得n=4,或n=-5(舍去),   故 是数列的第四项. 小结:   判断某数是否为数列中的一项,只需将它代入通项公式中求n.若存在正整数n,说明此数是数列的项. 例2、设函数f(x)=log2x-logx2(0<x<1),数列{an}中的第n项an满足 (n=1,2,3,…). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断此数列的单调性. 解析:   (1)由 ,   即 ,   由求根公式,并注意0<x<1,即 ,有an<0,   可得 .   (2) ,   又∵ anan.(n=1,2,…)   故,数列{an}是单调递增数列. 小结:   数列与前面所学的函数知识有着密切的联系,解题中要注意函数的知识运用及研究函数的方法来研究数列.此题中由0<x<1的条件知an<0,以及anan都是学生易忽视、易错的地方,应引起注意. 2、等差数列的概念及通项公式 例3、已知四个数成等差数列,其四个数的平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求此四个数. 解析:   设此四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.   则   由②,得 ,代入①求得 .   故,所求四个数为8,5,2,-1;或1,-2,-5,-8;或-1,2,5,8;或-8,-5,-2,1. 小结:   ①若三个数成等差数列可设为a-d,a,a+d.   ②因为四个数成等差数列,所以所求四数给出时应有“一定次序”防止少写结论. 例4、有两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们共有多少相同的项? 解析:   显然11为它们的第一个相同项,因为两个数列的公差分别是3和4,于是它们的相同项组成的等差数列的公差为12,记它们组成的数列为{an},   则an=11+12(n-1)=12n-1.   由   解得n≤25.   故共有25个相同的项. 小结:   熟记通项公式是解答与等差数列相关问题的关键.其次a1,d是等差数列的核心,因为有了它们,我们想求什么都可以. 三、难点知识剖析 1、如何由数列的前面几项写出一个通项公式.   利用观察、分析、归纳的思想方法得出通项公式,本身也是一个重要的数学思想. 例5、写出数列的一个通项公式,使它的前5项分别是下列各数:   (1)   (2) ; (3)5,55,555,5555,55555. 解析:   (1)    (2)    (3) 小结:   根据数列的前n项写通项公式,一般围绕2n,2n±1,n2,n2±1,2n,2n±1,n±1等思考,此外还有1- ,10n-1等. 2、活用等差数列的性质解题. 例6、在等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10+a12=120,求2a9-a10的值. 解析:    小结: 等差数列中的等差中项的性质,即an-k+an+k=2an,解题常常用到,应牢记它. 等差数列前n项和

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