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Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Part One — Matrices
1 Basic properties of vectors and matrices 3
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Matrices: addition and multiplication . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 The transpose of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Square matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6 Linear forms and quadratic for ms . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7 The rank of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8 The inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9 The determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
10 The trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11 Partitioned matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
12 Complex ma trices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
13 Eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
14 Schur’s decomposition theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15 The Jordan decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16 The singular-value decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 Further results concerning eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . 20
18 Positive (semi)definite matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19 Three further results for positive definite matrices . . . . . . . 25
20 A useful result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Miscellaneous exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Kronecker products, the vec operator and the Moore-Penrose inverse 31
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 The Kronecker product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Eigenvalues of a Kronecker product . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 The vec op e rator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 The Moore-Penrose (MP) inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Existence and uniqueness of the MP inverse . . . . . . . . . . . 37
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