MATLAB实验练习题(计算机)南邮MATLAB数学实验大作业答案.

### MATLAB实验练习题知识点解析 #### 一、求方程的根 1. **求解方程** \(\exp(x) - 3x^2 = 0\) 的所有根。 - 解法: 使用 `solve` 函数求解方程。 - **MATLAB代码**: `>>solve('exp(x)-3*x^2',0)` - **结果**: - `ans = -2*lambertw(-1/6*3^(1/2))` - `ans = -2*lambertw(-1,-1/6*3^(1/2))` - `ans = -2*lambertw(1/6*3^(1/2))` 2. **求解多项式方程** \(x^5 + 5x + 1 = 0\) - 解法: 使用 `solve` 函数求解方程。 - **MATLAB代码**: `>>a=solve('x^5+5*x+1',0); a=vpa(a,6)` - **结果**: - `a = 1.10447 + 1.05983i` - `a = -1.00450 + 1.06095i` - `a = -0.199936` - `a = -1.00450 - 1.06095i` - `a = 1.10447 - 1.05983i` 3. **求解非线性方程** \(x\sin(x) - \frac{1}{2} = 0\) 至少三个根 - 解法: 使用 `fzero` 函数求解方程。 - **MATLAB代码**: - `>>fzero('x*sin(x)-1/2',3)` - `>>fzero('x*sin(x)-1/2',-3)` - `>>fzero('x*sin(x)-1/2',0)` - **结果**: - `ans = 2.9726` - `ans = -2.9726` - `ans = -0.7408` 4. **求解非线性方程** \(\sin(x)\cos(x) - x^2 = 0\) 的所有根 - 解法: 使用 `fzero` 函数求解方程。 - **MATLAB代码**: - `>>fzero('sin(x)*cos(x)-x^2',0)` - `>>fzero('sin(x)*cos(x)-x^2',0.6)` - **结果**: - `ans = 0` - `ans = 0.7022` #### 二、求极限、导数、积分 1. **求极限** \(\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin(x)}{x^3}\) - 解法: 使用 `limit` 函数求解极限。 - **MATLAB代码**: `>>sym x; >>limit((x-sin(x))/x^3)` - **结果**: `ans = 1/6` 2. **求十阶导数** \(\frac{d^{10}}{dx^{10}} [e^x\cos(x)]\) - 解法: 使用 `diff` 函数求解高阶导数。 - **MATLAB代码**: `>>sym x; >>diff(exp(x)*cos(x),10)` - **结果**: `ans = (-32)*exp(x)*sin(x)` 3. **求定积分** \(\int_0^{\frac{1}{2}} e^{x^2} dx\) - 解法: 使用 `int` 函数求解定积分。 - **MATLAB代码**: `>>sym x; >>vpa((int(exp(x^2),x,0,1/2)),17)` - **结果**: `ans = 0.54498710418362222` 4. **求不定积分** \(\int \frac{x^4}{25 + x^2} dx\) - 解法: 使用 `int` 函数求解不定积分。 - **MATLAB代码**: `>>sym x; >>int(x^4/(25+x^2),x)` - **结果**: `ans = 125*atan(x/5) - 25*x + x^3/3` 5. **求参数方程的一阶导数与二阶导数** - 参数方程: \(x = \log(\sqrt{1+t^2})\), \(y = \arctan(t)\) - 解法: 使用 `diff` 函数求解导数。 - **MATLAB代码**: - `>>sym t; >>x=log(sqrt(1+t^2)); y=atan(t); >>diff(y,t)/diff(x,t)` - **结果**: `ans = 1/t` 6. **求隐函数的导数** \(xy + e^y = e\) - 解法: 使用 `diff` 和 `solve` 函数求解隐函数的导数。 - **MATLAB代码**: `>>syms x y; f=x*y+exp(y)-exp(1); >>-diff(f,x)/diff(f,y)` - **结果**: `ans = -y/(x + exp(y))` 7. **求定积分** \(\int_0^\infty e^{-x}\sin(2x) dx\) - 解法: 使用 `int` 函数求解定积分。 - **MATLAB代码**: `>>syms x; >>y=exp(-x)*sin(2*x); >>int(y,0,inf)` - **结果**: `ans = 2/5` 8. **求泰勒级数展开** \(\sqrt{1+x}\) 在 \(x=0\) 展开至第9项 - 解法: 使用 `taylor` 函数求解泰勒级数展开。 - **MATLAB代码**: `>>syms x; f=sqrt(1+x); >>taylor(f,0,9)` - **结果**: `ans = -(429*x^8)/32768 + (33*x^7)/2048 - (21*x^6)/1024 + (7*x^5)/256 - (5*x^4)/128 + x^3/16 - x^2/8 + x/2 + 1` 9. **求三次导数** \(\frac{d^3}{dx^3}[e^{\sin(1/x)}]\) 在 \(x=2\) - 解法: 使用 `diff` 和 `subs` 函数求解高阶导数。 - **MATLAB代码**: `>>syms x; >>y=exp(sin(1/x)); >>dy=subs(diff(y,3),x,2)` - **结果**: `dy = -0.5826` 10. **求变上限函数的导数** \(\int_x^{x^2} \sqrt{a+t} dt\) 对 \(x\) 的导数 - 解法: 使用 `diff` 和 `int` 函数求解。 - **MATLAB代码**: `>>syms a t; >>diff(int(sqrt(a+t),t,x,x^2))` - **结果**: `ans = 2*x*(x^2+a)^(1/2) - (a+x)^(1/2)` 并且会给出一个警告提示表示无法找到显式的积分表达式。 #### 三、求空间距离 1. **求点到直线的距离** 求点 (1,1,4) 到直线 \(L\): \(\frac{x-3}{-1} = \frac{y-0}{0} = \frac{z-1}{2}\) 的距离 - 解法: 使用向量运算计算距离。 - **MATLAB代码**: `>>M0=[1,1,4]; M1=[3,0,1]; M0M1=M1-M0; v=[-1,0,2]; d=norm(cross(M0M1,v))/norm(v)` - **结果**: `d = 1.0954` #### 四、绘制概率密度函数图像 1. **绘制正态分布曲线** - 给定标准差分别为 1、2、4 的正态分布曲线在同一坐标系内绘制。 - **MATLAB代码**: - `>>syms x; fplot('(1/sqrt(2*pi))*exp(-((x)^2)/2)',[-3,3],'r')` - `>>hold on` - `>>fplot('(1/(sqrt(2*pi)*2))*exp(-((x)^2)/(2*2^2))',[-3,3],'y')` - `>>fplot('(1/(sqrt(2*pi)*4))*exp(-((x)^2)/(2*4^2))',[-3,3],'g')` - `>>hold off` 通过以上知识点的分析,我们可以看到MATLAB在解决数学问题中的强大功能,包括求解方程、极限、导数、积分以及绘图等方面的应用。这些练习题不仅涵盖了基础的数学概念,还展示了如何利用MATLAB工具箱来高效地解决问题。