在数据库系统中，函数依赖（FD）是关系模式中描述属性间依赖关系的重要概念。这里我们分析提供的练习题目，它们涉及函数依赖、超键和关键属性的理解。
在Exercise 3.1.1中，讨论了可能的函数依赖和候选键。函数依赖表示一个属性（或属性集）可以唯一确定另一个属性。例如：
1. 社会保障号 → 姓名：这表明社会保障号可以唯一确定一个人的姓名。
2. 区号 → 州：区号能确定电话所在州。
3. 街道地址，城市，州 → 邮政编码：这些信息组合起来可以确定一个地址的邮政编码。
可能的候选键包括：
{社会保障号，街道地址，城市，州，区号，电话号码}：这些属性的任何组合都能唯一标识一个记录，因为一个人可能有多个地址或电话，但这个集合确保了唯一性。
Exercise 3.1.2中探讨的是分子的位置和速度。函数依赖可能包括：
1. ID → x位置，y位置，z位置：分子的ID可以决定其三维空间位置。
2. ID → x速度，y速度，z速度：同样，ID也决定了分子的速度。
3. x位置，y位置，z位置 → ID：因为没有两个分子可以占据相同的位置，所以位置信息可作为键。
候选键为：
{ID} 和 {x位置，y位置，z位置}：由于位置信息的唯一性，它们都可以作为候选键。
Exercise 3.1.3探讨了如何找出不同条件下的超键。超键是能够包含键的属性集。题目分为四部分，分别考虑不同的情况：
a) 当包含属性A1时，超键是所有包含A1的子集，总数为2^(n-1)，其中n为属性总数。
b) 考虑A1和A2，超键包括包含A1的2^(n-1)个子集，以及包含A2的2^(n-2)个子集（不包括A1，因为它已经在前一组中计算过）。总超键数量为2^(n-1) + 2^(n-2)。
c) 包含{A1,A2}或{A3,A4}时，超键有包含{A1,A2}的2^(n-2)个子集，以及包含{A3,A4}的2^(n-2) - 2^(n-4)个子集（减去包含{A1,A2}的子集以避免重复计数）。总超键数量为2^(n-2) + 2^(n-2) - 2^(n-4)。
d) 包含{A1,A2}或{A1,A3}时，超键有包含{A1,A2}的2^(n-2)个子集，以及包含{A1,A3}的2^(n-2)个子集。总超键数量为2^(n-2) + 2^(n-2)。
理解这些基本概念对于设计高效、无冗余的数据库至关重要。函数依赖帮助识别数据中的规则，而超键则有助于确定最小的键，这些键可以保证数据的完整性。在实际数据库设计中，通过正确理解和应用这些概念，可以创建更优化的数据模型，从而提高查询性能和存储效率。
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