Linear regression with one variable

线性回归是统计学和机器学习领域中最基础且重要的模型之一，主要用于研究两个或多个变量之间的线性关系。在单变量线性回归中，我们关注的是一个因变量（目标变量）与一个自变量（特征变量）之间的关系。吴恩达的机器学习课程是业界广泛认可的教育资源，它对这一主题提供了深入浅出的讲解。 ### 线性回归的基本概念 1. **模型定义**：单变量线性回归模型通常表示为 `y = ax + b`，其中 `y` 是因变量，`x` 是自变量，`a` 是斜率（或权重），`b` 是截距。 2. **目标**：寻找最佳的 `a` 和 `b` 值，使得模型对数据的预测尽可能接近实际值。 3. **损失函数**：通常使用均方误差（MSE）作为损失函数，衡量预测值与真实值之间的差距。 4. **最小二乘法**：通过最小化损失函数来找到最佳参数，这是最常用的方法。 ### 训练过程 1. **数据预处理**：将数据集划分为训练集和测试集，训练集用于拟合模型，测试集用于评估模型性能。 2. **线性拟合**：使用梯度下降法或正规方程求解最小二乘问题，找到最佳的 `a` 和 `b`。 3. **模型评估**：使用测试集计算均方误差、决定系数（R²）等指标，评估模型的预测能力。 ### 梯度下降法 1. **原理**：通过不断调整参数，沿着损失函数梯度的反方向迭代，直至损失函数达到最小值。 2. **批量梯度下降**：每次更新参数时使用所有样本的梯度。 3. **随机梯度下降**：每次仅使用一个样本的梯度进行更新，速度快但可能震荡。 4. **小批量梯度下降**：每次使用一小部分样本的梯度，是实际应用中常见的选择。 ### 正规方程 1. **优点**：一次性求解，不涉及迭代，对于小规模数据集效率高。 2. **公式**：使用矩阵运算直接求解 `a` 和 `b`，即 `X^T X^-1 X^T y`。 3. **限制**：当数据量大时，计算 `X^T X^-1` 可能会遇到内存和计算效率问题。 ### 应用场景 1. **预测分析**：例如预测房价、销售额等，基于历史数据建立线性关系。 2. **趋势分析**：分析变量间的趋势，理解它们的变化规律。 3. **特征选择**：作为其他复杂模型的基础，帮助筛选出对目标变量有显著影响的特征。 ### 进阶话题 1. **多变量线性回归**：扩展到多个自变量，模型变为 `y = a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b`。 2. **岭回归**：在损失函数中添加正则项，避免过拟合。 3. **套索回归（Lasso Regression）**：通过L1正则化实现特征选择。 4. **异方差性**：不同自变量与因变量间的关系可能具有不同的方差，需要调整模型。 5. **偏差-方差权衡**：理解模型复杂度与预测能力之间的平衡。 ### 在吴恩达课程中的学习要点 吴恩达的课程中，会详细解释这些概念，并通过实际案例让你动手操作，加深理解。他还会讨论如何可视化数据，如何选择合适的模型，以及如何避免过拟合和欠拟合等问题。通过练习，你可以掌握如何运用Python和相关的机器学习库（如scikit-learn）来实现线性回归模型。 单变量线性回归是理解更复杂机器学习模型的基础，也是数据分析中不可或缺的工具。吴恩达的课程提供了全面而实用的学习路径，助你在这一领域建立起坚实的基础。