### 模式分解的无损连接性之深入剖析
#### 一、无损连接分解的形式定义
在数据库设计中，模式分解是一种常见的优化手段，它能够有效地提高数据处理的效率和减少存储空间的需求。然而，并非所有的模式分解都能保证原有数据的完整性。为此，引入了“无损连接分解”的概念，它是衡量一种模式分解是否能够完整恢复原始数据的关键指标。
**形式定义：** 设`R`是一个关系模式，`F`是`R`上的一个函数依赖集。若`R`分解成数据库模式`δ = {R1, R2, ..., Rk}`。如果对`R`中每一个满足`F`的关系`r`都有下式成立：
\[
\pi_{R1}(r) \bowtie \pi_{R2}(r) \bowtie ... \bowtie \pi_{Rk}(r) = r
\]
则称分解`δ`相对于`F`是“无损连接分解”，否则称为“损失连接分解”。其中，“⋈”表示自然连接，`\pi`表示投影运算。
#### 二、无损连接分解的普通判别方法——表格法
为了便于理解和实际操作，下面介绍了一种较为直观的方法——表格法，用于判断给定的分解是否具备无损连接性。
1. **构造表格：**
- 构造一张`k`行`n`列的表格，其中每列对应一个属性`A_j (1 ≤ j ≤ n)`，每行对应一个模式`R_i (1 ≤ i ≤ k)`。
- 如果属性`A_j`在模式`R_i`中，则在表格的第`i`行第`j`列处填上符号`a_j`，否则填上符号`b_ij`。
2. **修改表格：**
- 将构造好的表格视作模式`R`的一个实例关系，检查`F`中每个函数依赖是否在表格中成立。
- 对于`F`中的每个函数依赖`X → Y`，如果表格中有两行在`X`分量上相等而在`Y`分量上不相等，则需修改这两行的`Y`分量使之相等。具体地：
- 如果`Y`分量之一是`a_j`，则另一分量也应改为`a_j`。
- 若`Y`分量中没有`a_j`，则选用其中一个`b_ij`替换另一个，通常选择`i`值较小的那个。
3. **判断无损连接性：**
- 如果在修改过程中发现表格中存在一行全是`a`的情况（即`a_1, a_2, ..., a_n`），则可以立即断定分解是无损连接的。
- 若经过多次修改后，表格中不存在这样一行，则该分解是有损连接的。
4. **特殊注意事项：**
- 修改过程可能需要多次迭代，因为一次修改可能会导致新的修改需求。
- 如果某个`b_ij`被改动，则其所在列的所有`b_ij`都需要做相应调整，以保持一致性。
#### 三、示例解析
假设存在以下关系模式`R = (H, I, J, K, L)`以及函数依赖集`F = {H → I, K → L}`。对`R`进行分解得到`δ = {R1, R2, R3, R4}`，其中各模式包含的属性如下：
- `R1 = (H, I)`
- `R2 = (H, I, J, K)`
- `R3 = (H, I, K, L)`
- `R4 = (H, I, K, L)`
按照上述步骤构建表格并进行修改。以表格1为例：
| | H | I | J | K | L |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| R1 | b12 | b35 | | | |
| R2 | a1 | a2 | a4 | b25 | |
| R3 | a1 | b12 | a4 | b35 | |
| R4 | b12 | b35 | | | |
根据函数依赖`H → I`，需要将`R3`中的`I`分量`b12`修改为`a2`，因为`R2`中的`I`分量为`a2`。同时需要注意，由于`R1`和`R4`中的`H`分量为`b12`，所以它们的`I`分量也需要修改为`a2`。同样地，根据函数依赖`K → L`，需要将`R3`中的`L`分量`b35`修改为`b25`，并且`R1`和`R4`中的`L`分量也需要修改为`b25`。
修改后的表格如下：
| | H | I | J | K | L |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| R1 | a2 | b25 | | | |
| R2 | a1 | a2 | a4 | b25 | |
| R3 | a1 | a2 | a4 | b25 | |
| R4 | a2 | b25 | | | |
经过修改后，我们可以看到表格中不存在一行全是`a`的情况，因此可以判断分解`δ`是有损连接的。
通过以上分析可以看出，无损连接分解的概念和表格法的应用为数据库设计者提供了一种有效的方法来评估和优化数据库模式的分解。这种方法不仅理论依据充分，而且在实际操作中也相对简便易行。对于数据库设计者而言，掌握这些基本原理和技术将有助于提升数据库的整体性能和可靠性。
